Poissonverteilung als Ungleichung umformen. 1^k/e^{-1}*k!≤0,01

Question

hallo zusammen, ich habe einige Schwierigkeiten die Poissonverteilung nach k umzustellen.
Gegeben sei eine Akzeptanzgrenze 1%  also 0,01 

1^k/e^-1*k!≤0,01
Logarithmiere ich zuerst und forme dann um oder doch erst umformen und dann logarithmieren. Doch was ist K! -K. Ich bin gerade etwas am rätseln. 
Wäre dankbar für hilfreich Tipps.
Danke

Answer 1

Das kann man nicht nach \( k \) auflösen. Das \( k \) musst Du numrerisch bestimmen.

Comments

Ich habe das Endergebnis vor mir liegen

man erhält       K!≥37

und nun muss man durch ausprobieren schauen welches K! größer 37 ist, in dem Fall K! = 5! = 120 da 4! nur 24 und somit kleiner 37 ist.

Aber wie man auf K!≥37 kommen soll verstehe ich nicht. Es muss aber reinen umformungtechnischen Weg geben.

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Also erstens, wer sagt das es einen analytischen Weg geben muss? Und zweitens gibt es keine natürliche Zahl mit \( k! = 37 \)

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Beachte: Es handelt sich um eine Ungleichung

K!     ≥     37

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wenn ich  e^1 / 0,01 rechne, komme ich auf 36,78  was man ja logischerweise auf 37 aufrunden würde, da es sich um die Anzahl an ausfällen handelt (Poisson). Das aber wie man zu diesem Umformungsschritt K! ≥ e^-1/0,01 gelangt ist mir unklar.

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Das ganze funktioniert aber doch nur mit \( \lambda = 1 \) Dann hast Du die Ungleichung

$$ \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda} \le 0.01 $$ und daraus folgt für \( \lambda = 1 \)

$$ k! \ge \frac{e^{-1}}{0.01}   = 36.788 $$

Falls \( \lambda \ne 1 \) gilt, geht das alles nicht mehr so einfach, und das war das was ich am Anfang sagen wollte. Für den Spezialfall \( \lambda = 1 \) kann man das natürlich auflösen.

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Ah jetzt verstehe ich es auch, danke dir.
Wenn ich also einen Erwartungswert ungleich 1 habe, kann ich die Anzahl der Ausfälle nur numerisch bestimmen. 

DANKE

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Eigentlich musst du auch bei

k! ≥ 36.788

noch numerisch weitermachen, bis du ein natürliches k kennst.

3! = 6

4! = 24

5! = 120

Also k ≥ 5. 

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das hatte ich schon verstanden, dass ich jenes k! suchen muss, welches die ungleichung erfüllt und 5 ist auch das korrekte ergebnis. wie gesagt mir ging es vielmehr um die umformung.
Danke