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1000x-2*100x=3*10x

Hi kann die mal jemand Lösung und erklären wie man drauf kommt?


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1000x-2*100x= 3*10x

(103)x - 2·(102)x = 3·10x

(10x)3 - 2·(10x)2 -  3·10x = 0

setze z = 10x

z3 - 2z2 - 3z = 0

z * (z2 - 2z - 3) = 0

z * (z-3) * (z+1) = 0     [ oder pq-Formel für z2 - 2z - 3 = 0 ]

z1 = 0 ; z2 = 3 ; z3 =  -1

10x = 0 bzw. 10x = -1  jeweils keine Lösung 

10x = 3  →  x = lg(3)  ≈ 0,4771212547

Gruß Wolfgang

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1000x-2*100x=3*10x

103x - 2*102x = 3*10x   

Substitution   z=10x gibt

z3 - 2z2 - 3z = 0

z=0 oder  z2 - 2z - 3 = 0

z=0 oder z=3 oder z=-1

also  10x = 0 oder 10x = 3 oder 10x = -1

einzig möglich 10x = 3

x = lg(3) 


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Substituiere z= 10x

(103)x  -2 (102)x  --2 (10)x =0

z3 -2 z2 -3z=0

z(z2 -2 z -3)=0

Satz vom Nullprodukt

z_1=0

z2 -2 z -3=0 ->pq Formel

z_1=0

z_2=3

z_1 =-1

Nur z_ 3 führt zum Ziel

Rücksubstitution:

10x=3

x≈ 0.477

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Hier ein anderer Weg:1000x2100x=310x : 10x0100x210x=33100x210x3=0Potenz zerlegen(10x)2210x3=0Polynom faktorisieren(10x3)(10x+1)=0 : (10x+1)010x3=0+310x=3logarithmierenx=log10(3). \begin{aligned}1000^x-2\cdot 100^x &= 3\cdot 10^x \quad|\quad:10^x\ne 0 \\100^x-2\cdot 10^x &= 3 \quad|\quad-3 \\100^x-2\cdot 10^x - 3 &= 0 \quad|\quad \text{Potenz zerlegen} \\\left(10^x\right)^2-2\cdot 10^x - 3 &= 0 \quad|\quad \text{Polynom faktorisieren} \\ \left(10^x-3\right)\cdot \left(10^x+1\right) &= 0 \quad|\quad:\left(10^x+1\right)\ne 0 \\10^x-3 &= 0 \quad|\quad+3 \\10^x &= 3 \quad|\quad \text{logarithmieren} \\x &= \log_{10}(3).\end{aligned}

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