Gleichung Potenz (log). 1000x-2*100x=3*10x

Question

1000^x-2*100^x=3*10^x

Hi kann die mal jemand Lösung und erklären wie man drauf kommt?

Answer 1

1000^x-2*100^x= 3*10^x

(10³)^x - 2·(10²)^x = 3·10^x

(10^x)³ - 2·(10^x)² -  3·10^x = 0

setze z = 10^x

z³ - 2z² - 3z = 0

z * (z² - 2z - 3) = 0

z * (z-3) * (z+1) = 0     [ oder pq-Formel für z² - 2z - 3 = 0 ]

z₁ = 0 ; z₂ = 3 ; z₃ =  -1

10^x = 0 bzw. 10^x = -1  jeweils keine Lösung 

10^x = 3  →  x = lg(3)  ≈ 0,4771212547

Gruß Wolfgang

Answer 2

1000^x-2*100^x=3*10^x

10^3x - 2*10^2x = 3*10^x   

Substitution   z=10^x gibt

z³ - 2z² - 3z = 0

z=0 oder  z² - 2z - 3 = 0

z=0 oder z=3 oder z=-1

also  10^x = 0 oder 10^x = 3 oder 10^x = -1

einzig möglich 10^x = 3

x = lg(3) 

Answer 3

Substituiere z= 10^x

(10³)^x  -2 (10²)^x  --2 (10)^x =0

z³ -2 z² -3z=0

z(z² -2 z -3)=0

Satz vom Nullprodukt

z_1=0

z² -2 z -3=0 ->pq Formel

z_1=0

z_2=3

z_1 =-1

Nur z_ 3 führt zum Ziel

Rücksubstitution:

10^x=3

x≈ 0.477

Answer 4

Hier ein anderer Weg:$$\begin{aligned}1000^x-2\cdot 100^x &= 3\cdot 10^x \quad|\quad:10^x\ne 0 \\100^x-2\cdot 10^x &= 3 \quad|\quad-3 \\100^x-2\cdot 10^x - 3 &= 0 \quad|\quad \text{Potenz zerlegen} \\\left(10^x\right)^2-2\cdot 10^x - 3 &= 0 \quad|\quad \text{Polynom faktorisieren} \\ \left(10^x-3\right)\cdot \left(10^x+1\right) &= 0 \quad|\quad:\left(10^x+1\right)\ne 0 \\10^x-3 &= 0 \quad|\quad+3 \\10^x &= 3 \quad|\quad \text{logarithmieren} \\x &= \log_{10}(3).\end{aligned}$$