∑∞n=0 an*xn = (1 / (1-x)) * (1 / (1-x2)) * (1 / (1-x5))
Das Produkt rechts kann als Resultate von geometrischen Reihen aufgefasst werden.
(1 / (1-x)) = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 +....... , für |x|<1. (1 / (1-x2)) = 1 + x2 + (x2)2 + (x2)3 + ....., für |x2| < 1, also für |x| < 1.
(1 / (1-x5)) = 1 + x5 + (x5)2 + (x5)3 + .... , für |x5| < 1, also für |x| < 1.
Nun "ausmultiplizieren" und nach Partitionen der Zahl n sortieren:
( 1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 +....... )* ( 1 + x2 + (x2)2 + (x2)3 + ....) *(1 + x5 + (x5)2 + (x5)3 + ...)
= 1*1*1 + x1*1*1 + x2*1*1 + 1*x2 * 1 + x3 * 1*1 + x1 * x2 * 1 + (x2)2 *1*1 + x2 * (x2)2 * 1 + 1*(x2)2 * 1 + x5*1*1 + .....
In dieser Summe stamm der erste Faktor immer aus der ersten, der zweite Faktor aus der zweiten und der dritte Faktor aus der dritten Klammer.
Nun die Interpretation:
= 1*1*1 x0 Es gibt genau eine Partition der Zahl 0. Nämlich: Man nimmt 0*1 + 0*2 + 0*5. ==> a_(0) = 1
+ x1*1*1 Es gibt genau eine Partition der Zahl 1. Nämlich: Man nimmt 1*1 + 0*2 + 0*5. ==> a_(1) = 1.
+ x2*1*1 + 1*x2 * 1 Es gibt genau zwei Partitionen der Zahl 2. Nämlich 2*1 + 0*2 + 0*5 und 0*1 + 1*2 + 0*5 . ==> a_(2) = 2
+ x3 * 1*1 + x1 * x2 * 1 Partitionen der Zahl 3. Nämlich 3*1 und 1*1 + 1*2. ==> a_(3) = 2
+ x4 *1*1 + x2 * (x2)2 * 1 + 1*(x2)2 * 1 + .....Partitionen der Zahl 4. Nämlich 4*1 + 0*2 + 0*5 und 2*1 + 1*2 + 0*5 und 0*1 + 2*2 + 0*5.
==> a_(4) = 3 usw.