überbestimmtes gleichungsystem mit Parametern

Question

ich habe folgendes überbesetzteres gleichungsystem mit dem Parameter a welches Element der reellen Zahlen ist. Die Frage ist für welche a das gleichungsystem lösbar ist.

x+ay=1

2x+2y=a

x+2ay=2

nach meiner Rechnung ist das gleichungsystem unabhängig von a nicht lösbar. ich habe die 1 und 2 Gleichung addiert. somit dann y berechnet. durch einsetzen in die erste x berechnet. dann x und y in die dritte Gleichung eingesetzt dort kam ich dann. zu dem Widerspruch -1=a^2

Ist das ein sinnvoller Lösungsweg oder kann man das deutlich einfacher rechnen

Danke für alle antworten

Answer 1

(1) x+ay=1

(2) 2x+2y=a

(3) x+2ay=2

(3) - (1) ergibt ay = 1 und damit y =1/a. Letzteres in (2) eingesetzt ergibt 2x - 2/a = 2

und y = 1/a in 1 eingesetzt ergibt x = 0. Letzteres und y=1/a in (2) eingesetzt ergibt 0+2/a=a und damit a= ±√2.