Aufgabe zu Potenzen und Exponenten lösen: (2/5)^{-x} : (4/5)^x = 1

Question

Wie muss ich vorgehen, um das Ding aufzulösen: 

(2/5^{-x}) : (4/5)^x  = 0

?

Definitive Version gemäss Diskussion:

(2/5)^{-x} : (4/5)^x  = 1

Comments

Bitte mach nochmal deutlich:
Soll das heißen

(2/5)^{-x} : (4/5)^x = 0

oder
2/(5^{-x}) : (4/5)^x = 0

?

Answer 1

Ich weiß nicht genau ob die 2/5 nicht auch hätte geklammert werden müssen. Ich interpretiere es mal auf beide Arten.

(2/5)^{-x} / (4/5)^x = 0
(5/2)^x * (5/4)^x = 0
(5/2 * 5/4)^x = 0
(25/8)^x = 0

Eine Exponentialfunktion wird nie null. Daher gibt es hier keine Lösung

2/5^{-x} / (4/5)^x = 0
2 * 5^x * (5/4)^x = 0
5^x * (5/4)^x = 0
(25/4)^x = 0

Auch hier gilt das eine Exponentialfunktion nicht null wird.

Comments

2/5^{-x} / (4/5)^x = 1
x = - LN(2)/(2·LN(5/2)) = -0.3782353986

oder
(2/5)^{-x}/(4/5)^x = 1
x = 0

Answer 2

Hi, Exponentialfunktionen haben keine Nullstellen, Quotienten von solchen folglich ebenfalls nicht. Die Lösungsmenge ist daher leer.

Comments

Und wie mache ich es, wenn die Gleichung so aussieht:

2/5^-x : (4/5)^x  = 1

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Könntest du eventuell sagen ob dort (2/5)^{-x} steht oder 2/(5^{-x}) ?

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Dann ist die einzige Lösung x=0, das ist auch vollkommen klar. (Man kann die linke Seite als x-te Potenz von etwas von 1 verschiedenem schreiben)

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Mein Fehler, 2/5 muss auch geklammert werden zu (2/5)^-x

sorry, ist wohl schon zu spät :)

Answer 3

(2/5)^{-x} : (4/5)^x  = 1

(5/2)^x * (5/4)^x = 1

(25/8)^x = 1

x=0 , da a^0 = 1, immer, wenn die Basis nicht gerade 0 ist.

Kehrwerte nötig: 1. wegen negativem Exponenten. 2. um aus Division eine Multiplikation zu machen.

Comments

Kehrwerte nötig: 1. wegen negativem Exponenten.
2. um aus Division eine Multiplikation zu machen.

Es genügt

(2/5)^-x : (4/5)^x  = 1
⇔
( (2/5)^-1 : (4/5) )^x  = 1
⇔
x = 0.

Der letzte Schritt ist möglich, weil die Basis der linken Seite
der mittleren Gleichung offensichtlich nicht eins ist. (Dass
die Basis offensichtlich auch nicht null ist, erspart natürlich
Fragen nach der Definition, ist hier aber eher weniger wichtig.)

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@Anonym: Du musst allerdings schon sicherstellen, dass die Basis nicht 1 ist. Da ist es für Anfänger schlauer das fertig zu vereinfachen.