Existiert eine überarbzählbare Überdeckung der reellen Zahlen durch disjunkte Intervalle?

Question

Können die reellen Zahlen als Vereinigung von überabzählbar vielen disjunkten, nicht entarteten Intervallen dargestellt werden?

Wenn ja, wie? Ein Existenzbeweis wäre aber auch hinreichend.

Comments

Was ist denn ein entartetes Intervall?

---

Ein entartetes Intervall ist ein Intervall, bei dem die linke Grenze gleich der rechten Grenze ist.

Answer 1

Betrachte die Vereinigung aller ] - x ; x [ mit x > 0  und x aus IR.

Comments

Die Intervalle sind nicht disjunkt.

---

stimmt, hab ich übersehen.

Answer 2

Jedes Intervall enthält eine rationale Zahl.

EDIT: Kommentar in Antwort umgewandelt. Wichtig: Weiterlesen in den Kommentaren! 

Comments

Und inwiefern führt uns das zu einer Vereinigung überabzählbar vieler disjunkter, nicht-entarteter Intervalle?

---

Überhaupt nicht. Ganz im Gegenteil zeigt es, dass eine solche Vereinigung nicht existiert.

---

Aha verstehe:  Wenn ich  eine solche Vereinigung habe, muss wegen der

Disjunktheit für jedes rationale x ein eigenes Intervall  I_x existieren.  

Die Vereinigung dieser I_x ist aber schon ganz IR, weil Q in IR dicht liegt . 

Da Q abzählbar ist, sind es nur abzählbar viele. Also gibt es

keine überabzählbar große Vereinigung dieser Art.

---

Klingt einleuchtend.

---

Um das Argument von mathef mal etwas zu präzisieren:

Sei T eine Menge von disjunkten Intervallen, so dass  ∪_I∈T I = ℝ ist.

Sei f: ℚ→T derart, dass f(q) = I ⇔ q∈I ist.

Die Abbildung f ist wohldefiniert, weil

• die Mengen in T disjunkt sind, also zu jedem q∈ℚ höchstens ein I∈T mit q∈I existiert, und
  
• zu jedem q∈ℚ existiert mindestens ein I∈T mit q∈I, weil ∪_I∈T I ⊃ ℚ ist.

Weil die rationalen Zahlen dicht in den reellen Zahlen liegen (a.k.a. "Jedes Intervall enthält eine rationale Zahl") ist f surjektiv. Es muss also |T| ≤ |ℚ| sein.

Weil ℚ abzählbar ist, ist auch T höchstens abzählbar.