Anzahl surjektive Abbildungen bestimmen

Question

Ich habe hier    f:= {1,...7} ↦ {1,...6}

Meine Idee ist: alle Abbildungen (6⁷) minus  #Abbildungen die nicht surjektiv sind, sodass kriege ich die #alle Surjektive Abbildungen raus. Kann jemand mir bitte bisschen erklären wie genau das geht, weil ich schon 10 verschiedene Formeln gesehen hat, könnte ich aber nicht richtig benutzen.

Comments

Welche von den Formeln kommt denn in der Musterlösung vor?

Answer 1

So eine Abbildung kann ja durch das 7-Tupel ( f(1) ; f(2) ; f(3) ; ... ; f(7) )

repräsentiert werden. Surjektiv heißt dann: In dem 7-Tupel kommen alle Werte von 1 bis 6 vor,

also genau einer doppelt.

Für das doppelte Vorkommen von 1 in einem solchen 7- Tupel gibt es  soviele Möglichkeiten

wie es 2-elementige Teilmengen in {1;...;7} gibt, also 7 über 2 = 7*6 / 1*2  =   21.

Das ist natürlich n icht nur bei 1 sondern jeder der 6 Zahlen so, also

6*21 = 126.

Die restlichen 5 Werte können in jeder beliebigen Reihenfolge sein, also gibt es

zu jedem dieser Doppelvorkommen nochmal 5 ! verschiedene Reihenfolgen der

reslichen 5 Werte, also insgesamt 126 * 5!  =  126 * 120 = 15120.

Answer 2

sei \( f: A \rightarrow B \) mit \( A = \{1,  \dots, 7\} \) und \( B = \{1, \dots, 6\} \).

Für jede Menge \( A' \subset A \), die \( 6 \) ausgewählte Elemente von \( A \) enthält, gibt es \( 6! \) verschiedene Abbildungen \( A' \rightarrow B \). Die Anzahl der Mengen \( A' \) ist \( 7 \).

Für das letzte Element einer Menge \( A \setminus A' \) gibt es \( 6 \) verschiedene Möglichkeiten, auf \( B \) abgebildet zu werden.

Es ist zu beachten, dass in diesen Möglichkeiten jede Abbildung doppelt vorliegt.

Daher ist die Menge aller Abbildungen von \( A \rightarrow B \) gleich \( 6 \cdot 7 \cdot \frac{1}{2} \cdot 6! = 15120 \).

Mister

Comments

Für jede Menge A ' ...  
Das sehe ich auch so.
Von diesen A ' Mengen, gibt es aber doch 7 Stück  und nicht nur den
Fall A ' = B.
Also müsstest du dein Ergebnis noch mal 7 nehmen.

Und bei :  Für das letzte Element der Menge ...  entsteht dann doch jedes Ergebnis 2-mal,
also nochmal durch 2.
Dann bist du auf dem gleichen Ergebnis wie ich.

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Hi Mister. In die Musterlösung die ich habe steht genau 15 120. Also hat mathef recht. Vielen Dank für deine Idee! :)

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@still96: Du hast also eine Musterlösung zu der Aufgabe?

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@mathef: Ist jetzt nicht mehr aktuell, da ich die Antwort angepasst habe. Danke für den Hinweis.