Hallo Samira,
1)
I x2 - 9 I < I x - 1 I
Ein Verfahren, das immer funktioniert, wenn nur einzelne Beträge (also keine Beträge in einem Betrag) gegeben sind:
Die Terme in den Beträgen haben die Nullstellen x1,2 = ± 3 und x3 = 1
Damit hast du die Fälle: x ≤ -3 , -3 < x < 1 , 1 ≤ x ≤ 3 und x > 1
Für jeden Fall erhältst du eine betragsfreie Unleichung, wenn du
- falls der Term im jeweiligen Betrag positiv ist, |A| durch A ersetzt
- falls der Term im jeweiligen Betrag negativ ist, |A| durch -A ersetzt
Da es sich jeweils um quadratische Ungleichungen handelt, habe ich ein Lösungsverfahren dazu unten angegeben [#]
Kontrolllösung:
- √41/2 - 1/2 < x < 1/2 - √33/2 oder √41/2 - 1/2 < x < √33/2 + 1/2
2)
x - 1 / (x+1) < 1
hier kannt du mit x+1 mulitiplizieren, um den Nenner loszuwerden.
Dabei musst du du die beiden Fälle x > -1 [ x+1>0] und x < -1 [ x+1<0] unterscheiden, weil sich im 2. Fall das Ugleichheitszeichen umdreht:
Edit nach Kommentar (weil links nur die 1 auf dem Bruch steht) :
x · (x+1) < x+1 für x >-1 oder x · (x+1) < x+1 für x < -1
Du musst also auch hier zwei quadratische Ungleichungen lösen. [# vgl. unten]
[ leider falsch war:
also: x -1 < x+1 für x >-1 oder x-1 > x+1 für x<-1 ergibt direkt x ≥ -1 ]
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[#]
Lösen einer quadratischen Ungleichung x2 + px + q > [<, ≤, ≥] 0
Die zugehörige Gleichung x2 + px + q = 0 hat die Lösungen
1) für (p/2)2 - q > 0 die Lösungen x1,2 = - p/2 ± \(\sqrt{(p/2)^2 - q}\)
2) für (p/2)2 - q = 0 die Lösung x1 = - p/2
3) für (p/2)2 - q < 0 keine Lösung
Nun stellt man sich den Parabelterm auf der linken Seite der Gleichung vor. Dessen Graph ist nach oben geöffnet.
Die jeweilige Ungleichung (mit Ungleichheitszeichen indiziert) hat also die Lösungsmenge:
1)
L> = ] -∞ ; x2 [ ∪ ] x1 ; ∞ [ , L≥ = ] -∞ ; x2 ] ∪ [ x1 ; ∞ [
L< = ] x2 ; x1 [ , L≤ = [ x2 ; x1 ]
2)
L> = ℝ \ { x1 } , L≥ = ℝ , L< = { } , L≤ = { x1 }
3)
L> = L≥ = ℝ , L< = L≤ = { } ,
Gruß Wolfgang
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