Integral Rotationskörper mit Substitutionsregel

Question

Hallo liebe Community ,

Ich versuche zurzeit diese Aufgabe zu lösen :

Das im Intervall 0,Pi unter der Kurve mit der Gleichung f(x) = sinx liegende Flächenstück rotiere um die x-Achse. Berechnen Sie das Volumen des entstehenden Rotationskörpers.

In der Lösung wurde die Part. Integ. genutzt und man kam auf das Ergebnis = π

Jedoch kriege ich das mit der Subs. Regel nicht raus.

Was mache ich falsch ?

Answer 1

man kann nur Konstante vor das Integral ziehen, keine Terme mit  x !

Hier kannst du mit partieller Integration arbeiten (2-mal) oder mit Substitution.

[  ∫ u · v ' =  u · v - ∫ u' · v     mit  u = v ' = sin(x) ]

Du kannst auch die Reduktionsformel anwenden ( aber dann kannst du auch gleich die Stammfunktion von sin²(x) in der gleichen Formelsammlung ablesen :-) ):

 ∫ sinⁿ(x) dx  =  (n-1) / n · ∫  sin^n-1(x)  -  1/n · cos(x) · sin^n-1(x)

mit n= 2 ergibt sich für die Stammfunktion  - 1/2 · [ sin(x) · cos(x) + x ]  + C

Dann Grenzen einsetzen und  • π   nicht vergessen. Das ergibt dann  π²/ 2

Gruß Wolfgang

Answer 2

Das geht so nicht

Du kannst nicht u mit  x  zusammen integrieren. Der Integrand muß nur aus  Termen mit u bestehen.

Das ist aber hier nicht der Fall.

Hinweis: Es gilt allgemein:

sin^2(x)= 1/2 (1 -cos(2x)) ->siehe Tafelwerk oder Wikipedia

Spalte das in 2 Teilintegrale auf, dann kannst Du Substitution machen.