Aus dem ZDF und von meinem Big Boss ( Ich war Programmierer in einem Welt-Elektronikkonzern ) weiß ich: Das Mathestudium wenn du hast, hast du am Arbeitsmarkt nur die besten Chancen. Weil die Perso weiß: Du hast FALLUNTERSCHEIDUNG drauf. Ich selbst bin ja nur popeliger Physiker - wenn auch promoviert. Wie OFT musste ich mir vom Chef anhören ( ( Mathematiker; nicht promoviert )
" Schon wieder haben Sie einen Fall übersehen. was ich aber noch schlimmer finde: Welche Aktion lösen wir denn in diesem Fall aus? "
Also machen wir doch eine Falluntertscheidung. Der triviale Fall wäre a = 0 ; dann hast du nämlich die Winkel Halbierende ( WH )
Dieser Wurzel entledige ich mich mit deinem Einverständnis; die Sache wird doch wesentlich übersichtlicher, wenn wir unterscheiden zwischen ( 1a ) und ( 1b )
x ³
f ( x ; a ) := ------------------------ ( 1a )
x ² + a ²
x ³
f ( x ; a ) := ------------------------ ( 1b )
x ² - a ²
Nicht gefragt, aber ganz ganz wichtig: ( 1ab ) zeigen ungerade Symmetrie. Und eine ( mehrfache Nullstelle von ungerader Ordnung ( hier: 3-fache im Ursprung ) ist immer ein ===> Terrassenpunkt ( TP ) - typisch aber nicht notwendig für ungerade Symmetrie. Wegen der Symmetrie beschränke ich meine Aussagen auf x > 0 .
Polstellen im Fall ( 1a ) finden sich nicht; ===> natürlicher Definitionsbereich ist |R ( Doch; der Begriff des natürlichen Defbereichs spielt eine große Rolle in der ===> Funktionenteorie. ) Im Falle ( 1b ) hast du den einfachen Pol x0 = a .
Was wieder nicht gefragt war; um die kritischen Stellen einzukreisen, wäre eine Kenntnis der Asymptotik von Vorteil. Die Polynomdivision missbraucht ihr ja für die unmöglichsten Zwecke; aber hier empfiehlt sie sich wirklich. Beispiel ( 1b )
a ² x
x ³ : ( x ² - a ² ) = x + ------------------------ ( 2 )
x ² - a ²
Da der Bruch in ( 2 ) echt gebrochen ist; Nennergrad > Zählergraad, geht er für x ===> ( °° ) gegen Null - die WH stellt sich ganz allgemein als Asymptote heraus. Damit ist für x > a die Funktion mit Sicherheit positiv; dort liegen ja keine weiteren Nullstellen.
Ganz wichtig; Ableitung is noch lange nich. Erst mal überlegen wir uns den qualitativen Kurvenverlauf, wobei x IMMER VON RECHTS NACH LINKS zu durchlaufen ist. Weil dann entsteht nämlich keine Unklarheit über das Vorzeichen; näherst du dich dem Pol bei a von Rechts, geht f ( x ) ===> ( + °° )
Aha; ein Minimum x ( min ) > a ist schon mal Ding fest gemacht. Links von dem einfachen Pol haben wir einen Vorzeichenwechsel; der Graf kommt wieder von ( - °° ) Dagegen im Falle ( 1a ) verläuft die Kurve wahrscheinlich monoton.
Ich hypnotisiere dich jetzt. Schließlich löst ja die Quotientenregel ( QR )psychotische Krisen aus.
Sie ist ABSOLUT TÖDLICH .
Du musst sie meiden WIE DIE PEST .
Ich zähle jetzt bis Zehn; und dann hast du das Wort QR vergessen ...
Im Falle ( 1b ) böte sich doch ganz typisch die Technik des ===> logaritmischen Differenzierens an, welche die Rechenstufe um Eins vermindert. Und jetzt nicht sagen, die Ableitung von Logaritmus war noch nicht dran - DIE Ausrede zählt nicht. Im Telekolleg erfuhr ich, dass Logaritmus DEFINIERT ist als ===> Stammfunktion, als " Aufleitung " der Normalhyperbel; eine Definition kann man bekanntlich nicht begründen.
ln ( y ) = 3 ln ( x ) - ln ( x ² - a ² ) ( 3a )
Kettenregel beachten
y ' 3 2 x
----------- = 0 = ------- - ----------------------- ( 3b )
y x x ² - a ²
x ( min ) = a sqr ( 3 ) ( 3c )
eine Strenge Proportionalität mit a . ( Hier ich hab doch das bessere Feeling; a ² ist der natürliche Parameter und nicht a )
Mach och gleich d) ; Ortskurve
y = ( 3/2 ) x ( 3d )
Mit den WP passiert jetzt was ganz Merkwürdiges. Erwarten tu ich erst mal keine. Wie bestimme ich die 2. Ableitung? Die erste haben wir ja nur implizit berechnet. Eine ganz klare Regel:
Eine 3-fache Nullstelle der Ausgangsfunktion ist immer " eins weniger " , also doppelte der ersten Ableitung.
Und ein einfacher Pol der Ausgangsfunktion ist immer " eins mehr " , also doppelter der ersten Ableitung.
Einnwand für super schlaue; auch ( 1a ) besitzt Pole. Nur sind die eben imaginär. Es zahlt sich ebben doch aus, an komplexe Zahlen zu glauben ... Bis auf unwesentliche Vorfaktoren
x ²
y ' = ------------------------ ( 4a )
( x ² + a ² ) ²
ln ( y ' ) = ln ( x ) - ln ( x ² + a ² ) ( 4b )
Den gemeinsamen Vorfaktor 2 in ( 4b ) hab ich gleich weg gelassen.
y " 1 2 x
----------- = 0 = ------- - ----------------------- ( 4c )
y ' x x ² + a ²
x ( w ) = a ( 4d )
Da wir diesen WP inicht erwartet haben, müsen wir die 3. Ableitung nachprüfen. Mit dem Logaritmus geht das hier aber nicht mehr, weil du dann durch Null dividieren müsstest - ist dir das so weit klar?
Ich habe ein Verfahren entwickelt, das so ähnlich funktioniert wie das ===> Gaußsche Dreiecksverfahren. Bring erst mal ( 1a ) auf ganz Rational:
y ( x ² + a ² ) = x ³ ( 5a )
f ( a ) = a / 2 ( 5b )
erste Ableitung mit der Produktregel:
( x ² + a ² ) y ' + 2 x y = 3 x ² ( 6a )
2 a ² f ' ( a ) + 2 a f ( a ) = 3 a ² ( 6b )
und unter Beachtung von ( 5b )
f ' ( a ) = 1 ( 6c )
( max Zeichen )
