Näherungswerte der Schnittstellen bestimmen. 1/3x^3-2,75x^2+6x-2=-2/63x+29/84

Question

Was soll ich als nächstes machen?

Meine Aufgabe lautet: Ermitteln Sie Näherungswerte für die Schnittstelle des Graphen von f mit der Normalen n.Ich weiß, dass ich es gleichsetzen muss :1/3x^3-2,75x^2+6x-2=-2/63x+29/84.Aber wie soll ich fortfahren.

Comments

Wie lautet denn die vollständige Aufgabe?

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Ich habe es dort geschrieben : Ermitteln Sie Näherungswerte für die Schnittstelle des Graphen von f mit der Normalen n.

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Was ich wissen wollte: Zu was soll denn n eine Normale sein?

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Rückfragen zu beantworten ist wohl nicht dein Ding! Schade...

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vermutlich soll n die Normale an die Funktion f(x)=1/3x^3-2,75x^2+6x-2 an der Stelle x=3 sein.

Dann wäre n(x)=-1/f'(3)*(x-3)+f(3)=2/3*(x-3)+1/4

~plot~ 1/3x^3-2.75x^2+6x-2;2/3*(x-3)+0.25 ~plot~

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Ja genau (tut mir leid) :|

Answer 1

> 1/3·x³ - 2,75·x² + 6x -2 = -2/63·x + 29/84 .Aber wie soll ich fortfahren?

⇔  1/3·x³ - 11/4·x² + 380/63 ·x - 197/84 = 0

Mit einem "normalen" Taschenrechner:

1)

Man kann x=3 durch Probieren finden, eine Polynomdivision durchführen und mit der pq-Formel die restlichen Nullstellen finden:

Dieser Online-Rechner für Polynomdivisionen liefert:

(1/3x^3  - 11/4x^2  +  380/63x  - 197/84) : (x - 3)  =  1/3x^2 - 7/4x + 197/252  

 1/3x^3  -     x^2                      

 ———————————————————————————————————————

          - 7/4x^2  +  380/63x  - 197/84

          - 7/4x^2  +    21/4x          

          ——————————————————————————————

                      197/252x  - 197/84

                      197/252x  - 197/84

                      ——————————————————

                                  0

pq-Formel für   1/3x^2 - 7/4x + 197/252 = 0   (zuerst *3 !)  liefert dann den Rest:

x₁ = 3  ;  x₂ = 21/8 - √128289 / 168 ;  x₃ = √128289 / 168 + 21/8 

 x₁ = 3  ; x₂ ≈ 0.4930086996  ;  x₃ ≈ 4.756991300  

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2)

Du kannst auch mit einer Wertetabelle die Graphen des linken und rechten Terms zeichnen und die Schnittstellen näherungsweise ablesen:

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3)

Man kann auch mit einem Näherungsverfahren arbeiten:

z.B. Newtonverfahren:

f(x) =   1/3·x³ - 11/4·x² + 380/63 ·x - 197/84 = 0

Ausgehend von einem (möglichst guten) Startwert, den man z.B  in einem Plotterbild oder zwischen zwei x-Werten findet, deren Funktionswerte verschiedenes Vorzeichen haben, findet man immer bessere Werte mit der Formel

x_neu =  x_alt - f(x_alt) / f ' (x_alt)

Infos dazu findest du hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Newton-Verfahren

Startwert x_alt = 5

x	f(x)	f '(x)
5	0,73015873	3,531746032
4,793258427	0,093224154	2,644151031
4,758001684	0,002525239	2,501316793
4,75699212	2,04625E-06	2,4972634
4,7569913	1,35669E-12	2,497260111
4,7569913	-1,11022E-14	2,497260111
4,7569913	0	2,497260111

Starwert x_alt = 0

x	f(x)	f '(x)
0	-2,345238095	6,031746032
0,388815789	-0,396145297	4,044436908
0,486763985	-0,022339611	3,591483291
0,492984148	-8,74853E-05	3,563366588
0,493008699	-1,36045E-09	3,563255763
0,4930087	0	3,563255762

Startwert x_alt = 2

x	f(x)	f '(x)
2	1,384920635	-0,968253968
3,430327869	-0,55897208	-1,067907959
2,906900662	0,138591365	-1,50613615
2,998918482	0,001588235	-1,468793558
2,999999801	2,9147E-07	-1,468254068
3	6,66134E-15	-1,468253968
3	0	-1,468253968

Gruß Wolfgang

Comments

Danke erstmal aber ich bin ein bisschen durcheinander gekommen.Ich habe bisher nur einen AB bekommen wo ich das erste Mal dieses Thema behandle.Ich kenne mich also nicht aus es wäre sehr nett wenn mir jemand etwas genauer erklären würde.

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Habe die Antwort diesbezüglich noch ergänzt.

Natürlich gibt  wolframalpha die Lösungen der Gleichung sofort an.

Answer 2

Bringe die Gleichung in die "= 0-Form".
Dann Näherungsverfahren anwenden, z.B. Newton.

Comments

Was heißt Gleichung in die =0-form bringen?

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Meinst du in die Normalform?

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Achso Nein warte einfach jetzt beide Gleichungen  gleich null setzen ne

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Aber muss ich nicht beide Gleichungen gleichsetzen weil ich ja die Schnittstelle herausfinden muss

Answer 3

mit den richtigen Werten folgt die Gleichung:

1/3x^3-2.75x^2+6x-2=2/3*(x-3)+1/4

umgeschrieben:

1/3x^3-2.75x^2+6x-2-2/3*(x-3)-1/4=0

x^3-8.25x^2+18x-6-2*(x-3)-3/4=0

die Lösung x=3 ist aus der Aufgabenstellung bereits bekannt.

dann machst du Polynomdivision oder ähnliches und erhältst

x^3-8.25x^2+18x-6-2*(x-3)-3/4=1/4*(x-3)*(4x^2-21x+1)=0

zu lösen ist noch 

(4x^2-21x+1)=0

Man benötigt gar kein Näherungsverfahren für diese Gleichung.

x=21/8±sqrt((21/8)^2-1/4)

x≈0.0480589

x≈5.20194101

Answer 4

1/3·x^3 - 2.75·x^2 + 6·x - 2 = - 2/63·x + 29/84

1/3·x^3 - 2.75·x^2 + 6·x + 2/63·x - 2 - 29/84 = 0

x^3/3 - 11·x^2/4 + 380/63·x - 197/84 = 0

84·x^3 - 693·x^2 + 1520·x - 591 = 0

Nun kennen wir ja bereits x = 3 als Lösung

(84·x^3 - 693·x^2 + 1520·x - 591) : (x - 3) = 84·x^2 - 441·x + 197

84·x^2 - 441·x + 197 = 0

Lösung mit abc-Formel

x = 0.4930086996 ∨ x = 4.756991300