Normalverteilung mit μ = 7,82 und σ = 37,43
sei x = Verbrauch auf 100 km
gesucht ist P( x > 6)
Wenn du den Wert einfach nur wissen willst, kannst du diesen Online-Rechner benutzen.
Eingabe: μ und σ wie oben , x0 = 6 , x1 = unendlich (als Wort)
Dann erhältst du sofort das Ergebnis 0,51939
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Wenn du (z.B. in einer Klausur) keinen geeigneten Rechner zur Verfügung hast, wird es etwas lästiger :-)
Den (richtigen) Integralterm, den Ullim in der 1. Zeile angegeben hat, kann man elementar nicht ausrechnen.
Deshalb muss man mit einer Tabelle für die Verteilungsfunktion Φ(z) der Standardnormalverteilung arbeiten.
Dazu musst du deinen x-Wert 6 zuerst in den z-Wert = ( x - μ ) / σ transformieren.:
z = ( 6 - 7,82 ) / 37,43 ≈ - 0,0486
Die Tabelle gibt dann Φ(z) = "Wahrscheinlichkeit für 0 ≤ x ≤ 6" an. Da wir die W. für x > 6 suchen, müssen wir 1 - Φ(z) nehmen. Außerdem findet man in der Tabelle Φ(z) nur für positive z-Werte . Erfreulicherweise gilt aber Φ(-z) = 1 - Φ(z)
Insgesamt suchen wir also den Wert 1 - (1 - Φ(-0,0486)) = Φ(0,0486) [ die beiden "Unzulänglichkeiten" der Tabelle heben sich (hier!) gegenseitig auf. ]
In der Tabelle finden wir nur die Werte 0,51595 für z = 0,04 und 0,51994 für z = 0,05. Irgendwo dazwischen liegt unser gesuchter Wert. Deshalb müssen wir interpolieren:
P( x > 6) = 0,51595 + ( 0,0486 - 0,04) / ( 0,05 - 0,04 ) · (0,51994-0,51595) ≈ 0,51938
( Da man beim Interpolieren zwischen den Tabellenwerten näherungsweise einen linearen Verlauf annimmt, weicht das Ergebnis vom Rechnerergebnis ein wenig ab)
Gruß Wolfgang
