Komplexe Lösung zu z^2=-2-3j

Question

Ich habe gerade die komplexe Lösung zu z^2=-2-3j berechnet, ich würde mich sehr freuen, wenn dies jemand gegenlesen könnte. Besten Dank!

$$ \arctan { \begin{pmatrix} \frac { -3 }{ -2 }  \end{pmatrix} } =56°-->\quad -56° $$

$$ { z }_{ k }=|z|^{ \frac { 1 }{ n }  }*{ e }^{ j\frac { fi\quad +2\quad *\quad k\quad *\quad pi }{ n }  } $$

$$ { z }_{ 0 }=(\sqrt { { (-2) }^{ 2 }+{ (-3) }^{ 2 } } )^{ \frac { 1 }{ 2 }  }*{ e }^{ j\frac { -56°\quad +2\quad *\quad o\quad *\quad pi }{ 2 }  } $$

$$ { z }_{ 0 }=1,8988*{ e }^{ j-28° } $$

$$ { z }_{ 0 }=1,8988*(cos(-28°)+j*sin(-28°)) $$

$$ { z }_{ 0 }=1,8988*(0,8829\quad -0,4694j) $$

$$ { z }_{ 0 }=1,6764-0,9812j $$

Natürlich kommt dann noch $$ { z }_{ 1 } $$

Comments

Die -56° solltest du nochmals überdenken. z^2 liegt im 3. Quadranten.

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Gibt es dafür eine Regel, mit der man sich das merken kann? Bzw, wo man das sofort erkennt

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Ich mutmaße mal eben.

Erster Quadrant Regulärer Wert für tan^-1 bsp 45°

Zweiter Quadrant tan-^1 Wert, 180°-Wert aus tan^-1 BSP -3+2j -33,XX 180°-33,XX°

Dritter Quadrant tan^-1 Wert + 180° (Oben in Fragestellung genanntes BSP)

Vierter Quadrant 360° - Ergebnis aus tan^-1

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Im 3. und 4. Quadranten kannst du einfach 180° zum Ergebnis von arctan (also tan^{-1} addieren, vorausgesetzt, du hast die Vorzeichen im Zähler und im Nenner korrekt eingegeben.

Grund: f(x) =  tan(x) hat die Periodenlänge π = 180°.

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Müsste es im 4 Quadranten nicht 360 - tan^-1 sein?

Im 3 Quadranten tan^-1 + 180 stimme ich zu!

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4. Quadrant: 

360 + tan^-1(x)         . Der blaue Teil ist ja selbst schon negativ. 

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Das ist richtig! Sonst wäre es ja -- somit + und das wäre > 360! :D
"360 + tan^-1(x)         . Der blaue Teil ist ja selbst schon negativ."Genau! Das habe ich eigentlich gemeint.Danke Lu und Grosserloewe (Da auch nochmal danke für die handgeschriebene Version)!

Answer 1

Meine Berechnung:

Comments

OK bei der Rechnung stimme ich dir zu.

Ich habe eine Frage bezüglich 56,3 + 180, ich kann mir denken warum das so ist. Aber auf der Seite:

http://mathe-online.fernuni-hagen.de/MIB/HTML/node46.html#la.polard2

Hat man für Azfgabe 3.2.6 beispielsweise mit -90 Grad gerechnet und hatte dann folglich -30 Grad im Cosinus.

Hat man dort einen Fehler gemacht? (56,3 + 180, ergibt mm nämlich auch mehr Sinn, daher stelle ich die Seite gerade etwas in Frage...)

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Zu der Aufgabe z^2=-2 -3j

Du kannst auch mit der Formel rechnen:

φ = -arc cos ((Realteil)/(Betrag)) rechnen ->Wikipedia  oder woanders steht die Formel sicher auch.

φ = -arc cos ((-2)/√13)

φ =-123.7°

Ob Du mit positiven oder negativen Winkeln rechnest ist egal .

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Danke für die Klarstellung.

Jetzt habe ich alles versanden!

Answer 2

 

dein Fehler liegt bei der Berechnung von φ

hier sind für z= a + b·i  Fallunterscheidungen nötig:

https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl

In deinem Fall musst du wegen a<0 und b<0   φ = arctan(b/a) - 180°  nehmen  (#)

Kontrolllösungen:

z = -0.8959774761 + 1.674149228·i  oder  z = 0.8959774761 - 1.674149228·i

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#

Etwas leichter zu merken ist das mit der Formel

φ = arccos(a/r)  für b≥0     bzw.  - arccos(a/r) für b < 0

Gruß Wolfgang

Comments

Eine Anmerkung vllt:

φ = atan(b/a) - 180°

oben rechnest du aber mit φ = atan(b/a) + 180° ?

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Anmerkung für Dich: Warum ist es egal ob man + 180 oder - 180 nimmt ?

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Das ist egal, mit "...+180"  erhältst du ≈ 236.31° , mit  "... -180"   -123.69°,

wegen -123.69°  +  360° = 236.31°  sind das die gleichen Winkel.

Answer 3

z^2 = -2 - 3·i

z = - √(√13/2 - 1) ± i·√(√13/2 + 1)

z = -0.8960 + 1.6741·i ∨ z = 0.8960 - 1.6741

Du solltest da vermutlich nochmals nachrechnen.