Konvergenzradius von tanh(x)

Question

Ich habe vorgegeben den Konvergenzradius von tanh(x) zu berechnen mit den ersten drei Gliedern der MacLaurinschen Reihe.

Die Potenzreihenentwicklung ist ja:

\( x^{\prime}-\frac{1}{3} x^{3}+\frac{2}{15} x^{5}-\ldots+ \)

Um den Radius zu berechen, muss ich ja entwickeln, aber wie kommt man auf 3 und 15 die im Nenner stehen?

um das + ... - kann ich ja (-1)ⁿ schreiben, aber ich komme nicht weiter:

\( \sum \limits_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \cdots \)

Comments

Hast du bemerkt, dass alle Exponenten ungerade sind? Versuch mal mit 2k+1 (die allgemeine Form einer ungeraden Zahl) etwas zu machen, du wirst was finden...

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Okay, das schliesst sich mir wohl, aber wie kommt man auf den Bruch? 1/3 und 2/15 ???

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Schau mal hier, der hat das selbe Problem wie du, ungefähr: http://matheraum.de/forum/Potenzreihe_Taylorreihe_tanh/t545648

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Danke, aber das ist da ja so durcheinander geschrieben. Es hilft mir nicht weiter!!!

Answer 1

Der Konvergenzradius des tanh ist nichts anderes als pi/2.

Comments

Bitte füg doch auch noch eine Rechnung an. Kein Matheprof wird die Lösung anerkennen, wenn die Aufgabe war den Konvergenzradiius zu berechnen. Dann zählt kein Verweis auf eine Formelsammlung.

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+1 für mathecoach, ohne Berechnung ist die Antwort leider nicht einleuchtend für uns Leser ::))

Answer 2

Hi Sascha,

um auf Deine Koeffizienten zu kommen, mache eine Taylorentwicklung:

tanh'(x)=1-tanh(x)^2

tanh''(x)=2tanh(x)*(1-tanh(x)^2)

tanh'''(x)=-2(tanh(x)^2-1)(3tanh(x)^2-1)

(usw.)

 

wenn man das nun an der Stelle 0 entwickelt (Tipp: tanh(0)=0)

f(0)+f'(0)/1*x+f''(0)/2*x^2+f'''(0)/3!*x^3

f(0)=0

f'(0)=1

f''(0)=0

f'''(0)=-2  -> -2/3!=-2/6=-1/3

 

So setzen sich dann Deine Koeffizienten zusammen.

 

Grüße

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Oh sry, habe Deine Frage wohl falsch interpretiert.


Für die Reihendarstellung schaue mal hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Tangens_Hyperbolicus_und_Kotangens_Hyperbolicus#Reihenentwicklungen

Man (ich nicht :P) kann wohl mit Bernoullizahlen arbeiten....