Grenzwert von (ln(x) + 2x + 1)/(x + 2√(x) + 5) für gegen unendlich. Vorgehensweise

Question

Ich möchte den Grenzwert gegen unendlich bestimmen für die Funktion

$$\frac { ln(x)+2x+1 }{ x+2\sqrt { x } +5 } $$

Bei Grenzwerten gegen eine Zahl habe ich keine Probleme, aber ich verstehe es bei Grenzwerte einfach nicht, wie man vorgeht, welche Regel man einsetzt etc.pp.

Kann mir das jemand Anhand dies= er Aufgabe erklären

Soweit bin ich schon:

Laut meinem Buch ist ln(x)= unendlich 2x=2 mal unendlich 1 bleibt eins.

Somit habe ich oben unendlich mal 2 mal unendlich + 1 = unendlich (richtig?)

Im Nenner habe ich

x=unendlich 2 wurzel x= 2*x^{1/2}= 2 mal unendlich +5 = unendlich mal 2 mal unendlich + 5= unendlich (richtig?)

Danach wende ich l'hopital an, un erhalte

$$\frac { \frac { 1 }{ x } +2 }{ 1+x^{ -\frac { 1 }{ 2 }  } } $$

1/x=unendlich +1 = unendlich

1 + x^{-1/2}= unendlich

Also müsste ich wieder l'hopital anwenden ?

Ich komme einfach nicht weiter, weil ich einfach keinen Ansatz habe, wie man bei der Betrachtung von gegen unendlich vorgeht.

Die Rechner im Netzt verwirren mich nur und sind mir keine hilfe.

Ich will es nicht nur anhand dieser Aufgabe sondern allgemein einfach verstehen.

Answer 1

spalte den Bruch in 3 Summanden auf und berechnen jeden Grenzwert einzeln.

lim x---> ∞ ln(x)/x =0 (Eigentlich bekannter Grenzwert, notfalls l'hospital verwenden)

lim x---> ∞ 2x/(x+√(x)+5)=2 (kürze die höchste Potenz in Zähler und Nenner)

lim x---> ∞ 1/(x+√(x)+5)=0

Answer 2

Wenn du mal überlegst, welche Größenordnung der Bruch für sehr große Zahlen x hat, stellst du fest, dass lnx und √x relativ klein bleiben und die Größenordnung von 2x/x dominiert wird. 2x/x = 2 und das ist auch der Grenzwert für x gegen unendlich.

Comments

Ist denn mein vorgehen komplett falsch?

Ich muss dazu noch sagen, das ich die Aufgabe ohne Taschenrechner berechnen muss

Answer 3

 nach 1-mal Hospital hattest  du richtig

( 1/x + 2) / ( 1 + 1/√x )   →_x→∞   ( 0 + 2 ) / (1 + 0 )  = 2 

Gruß Wolfgang

Comments

Ich habe meinen Fehler gefunden, Danke.
Bin in de Zeile verrutscht und habe
1/x=unendlich aufgeschrieben, was ja nicht stimmt, es gilt ja wie du geschrieben hast 1/x=0

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Jezt mal eine andere Frage.
Was ist wenn ich

ln(x+1)/x habe.
Wie berechne ich sowas

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auch hier geht Hospital

[ 1/(x+1) ]  / 1  →_x→∞  0/1 = 0

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Es geht mir aber um folgendes:

Um l'hopital anwenden zu können, muss ja die Bedingung 0/0 oder unendlich/unendlich erfüllt sein.

Erst wenn die Bedinung erfüllt ist, darf ich ja ableiten und erneut prüfen.

Bei ln(x+1) zum Beispiel, in meiner Tabelle steht ln(x)=unendlich

Hier steht jedoch ln(x+1).

Spielt das x+1 keine Rolle oder wie muss ich hier vorgehen zum Prüfen der Bedingung

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Nein, spielt keine Rolle.

Strebt das Argument A  im ln gegen ∞ , dann strebt auch ln(A) gegen ∞