Lösen von homogenen Linearen-Gleichungssystemen

Question

Kann hier jemand erklären, wie ich ein homogenes LGS lösen kann?

Ich hab da gerade zwei Aufgaben gefunden:

Wie kommt man auf die Lösung Triviale und nicht triviale?

$$ A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 5 & -2 \\ 1 & 3 & -3 \end{pmatrix}\quad ist\quad \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$

A gelöst ist die Matrix daneben!

$$ A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 5 & 1 \\ 1 & 3 & -3 \end{pmatrix}\quad ist\quad \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix} $$

Aber wie muss die Lösung geschrieben sein? Für Aufgabe 2 x3 = 5?

Answer 1

Bei der zweiten Matrix gibt es nur die triviale Lösung x1=x2=x3=0;

denn die letzte Gleichung gibt ja x3=0 und das in die vorletzte enigesetzt x2=0 etc.

Bei der ersten hast du x3 frei wählbar, also etwa x3=t.

Dann gibt die vorletzte  - x2 + 4t = 0

                                  x2 = - 4t

und in die erste eingesetzt

x1  - 8t + t = 0

x1 = 7t  also sehen alle Lösungen so aus:

(  7t  ;  -4t  ; t ) Das sit der von ( 7 ; -4 ; 1 ) aufgespannte

Unterraum von IR³  .

Comments

Kommt nicht bei der oberen Matrix als Lösung:

1 0 9

0 1 -4

0 0 0

raus?

VGL zu Rechner Arndt Brünner

Dann wäre

x3 = t

x2 -4t = 0

x2 = 4t

x1 + 9t = 0

x1 = -9t

Bei der 2 Aufgabe stimme ich dir zu 100% zu!