Aufgabe zu in / homogenen Gleichungssystemen.

Question

Aufgabe zur Klausur aufgabe aus dem Fach Höhere Mathematik 1 (Fachhochschule):

Bei dieser Aufgabe zählt jeder richtige Eintrag +0,5 Punkte, jeder falsche -0,5; kein Eintrag zählt 0 Punkte. Sie brauchen Ihre Antwort nicht zu begründen.

a) Betrachtet wird

(I) ein inhomogenes lineares Gleichungssystem und

(H) das zugehörige homogene Gleichungssystem.

Seien \( x_{s, 1} \) und \( x_{s, 2} \) Lösungen von (I) und \( x_{h, 1} \) und \( x_{h, 2} \) Lösungen von \( (\mathrm{H}) \).

Kreuzen Sie an, ob die jeweiligen Vektoren Lösungen von (I), (H) oder von keinem von beiden sind.

	Lösung von (I)	Lösung von (H)	keinem von beiden
\( x_{h,1} - x_{s,1} \)
\( x_{s,1} - x_{h,1} \)
\( x_{h,1} - x_{h,2} \)
\( x_{s,1} - x_{s,2}\)

b) Betrachtet wird ein lineares Gleichungssystem \( A x=b \) mit einer \( 3 \times 4 \)-Matrix \( A \), also 3 Gleichungen mit 4 Variablen.

Welche Möglichkeiten für die Lösungsmenge \( L \) gibt es?

	ist möglich	ist nicht möglich
L ist leer.
L enthält genau ein Element.
L enthält genau zwei Elemente.
L enthält unendlich viele Elemente.

Answer 1

a)     o        o       x
        x          o     o
       0         x       o

        o        x       o

o nein      x ja 

b)   x    o

      x      o

     o       x

     x        o

Comments

Die Lösungen habe ich vor mir liegen ... ich weiß nur nicht wie man drauaf kommt!!
Ich brauche eine erklärung zu der Lösung !

Deine Lösungen sind so weit richtig nur hast du einen Fehler gemacht:

bei b)
x o
o x
o x
x o

Meine Lösungen sind 100% richtig.

Ich hoffe, du kannst mir erklären wie du das gelöst hast!

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zu 1)

Vermutlich kennst du den Satz:

Die Lösungsmenge eines inhomogenen LGS hat die

Struktur:   eine spezielle Lösung + alle Lösungen des hom. Systems

bei 1a) ist aber vor der speziellen Lösung ein "minus" und das ist dann eben

keine Lösung mehr. z.B     3a + 2b - c = 4 hat die Lösung (1;1;1)

aber - ( 1;1;1) ist eben keine.

b) wenn du allerdings zu einer speziellen Lösung eine Lösung

des hom. Systems addierst oder davon subtrahiertst, bekommst du wieder

eine Lösung, denn die Lösung des hom Systems liefert ja auf der

rechten Seite eine 0 und lierfert also zusammen mit der speziellen Lösung

eine neue.

c) Die Lösungsmenge ein es hom. Systems bildet eine Vektorraum, enthält also mit 2 Elementen

auch deren Summe, Differenz etc.

d) zwei Elemente des inhom. Systens unterscheiden sich ( siehe a) immer nur

durch eine Lösung des hom. Systems.