Ich finde, du solltest dich nicht allzu weit von der Schulmathematik entfernen.
π. Wird in der Schule eingeführt als Verhältnis von Umfang zum Durchmesser eines Kreises und es wird kurz auf die Irrationalität eingegangen. Dabei hat man nach der Sekundarstufe 1 alle Mittel an der Hand, π beliebig genau zu approximieren. Wie geht das?
Abzählbarkeit und Überabzählbarkeit. Man kann zählen, wieviele ganze Zahlen es gibt: 0 ist die erste ganze Zahl, 1 ist die zweite ganze Zahl, -1 ist die dritte ganze Zahl, 2 ist die vierte ganze Zahl ... . So bekommt jede ganze Zahl eine andere natürliche Zahl zugeordnet. Es gibt also genau so viele ganze Zahlen, wie natürliche Zahlen. Kann man auf diese Weise jede unendliche Menge zählen?
Markow-Ketten. Matrizenrechnung wird manchmal anhand von Austauschprozessen behandelt. Die Austauschprozesse sind dabei recht gutmütig (Fachbegriff dafür ist regulär). Warum? Wegen Zerlegungssatz und um die Schüler nicht zu überfordern. Was ist mit den nicht-regulären Austauschprozessen? Welche Fragen sind da interessant und wie werden sie beantwortet?
Komplexe Zahlen. Wieso darf ich aus -1 keine Wurzel ziehen ... ich will aber.
Cardanische Formeln. Wie löst man quartische Gleichungen ohne zu raten?
eiπ + 1=0. Die fünf wichtigsten Zahlen der Mathematik in einer Gleichung vereint. Wie kommt's?
Spieletheorie. Du und dein Freund habt je einen linken Schuh, ein zweiter Freund hat einen rechten Schuh. Ihr möchtet einen Koalition bilden um ein paar Schuhe zu verkaufen. Wie soll der Gewinn aufgeteilt werden?
Grenzwerte. In NRW wird ein sogannter propädeutischer Grenzwertbegriff gelehrt. Was verstehen Profis unter einem Grenzwert? Und wie hat man Analysis betrieben bevor Grenzwerte erfunden wurden?
Graphentheorie. Drei Häuser sollen je eigene Gas-, Wasser- und Stromleitungen bekommen. Warum müssen sich dabei die Leitungen überkreuzen?
Spaß mit Ableitungen. Wie lang ist der Graph der Funktion f(x) = x2 zwischen den Punkten P(-1|1) und Q(1|1)? Die Exponentialfunktion ist anfangs wenig gekrümmt, fast gerade. Irgendwo in der nähe von Null ist sie stärker gekrümmt. Und dann nimmt die Krümmung wieder ab. Was ist mit Krümmung gemeint, wie berechnet man sie und wo ist sie maximal?
