Monotonieverhalten, Hoch und Tiefpunkte mit 2. Ableitung bestimmen

Question

Ich habe folgende Fragen zum Monotonie verhalten welche ich anhand einer Beispielaufgabe stellen möchte.

Zuerstmal: Y-Werte des Koordinatensystems kann man zum Berechnen der Monotonie komplett wegfallen lassen?

Die Y-Werte der Extremstellen werden lediglich benötigt um den Hoch oder Tiefpunkt ausfindig zu machen?

Beispielaufgabe:

h (x) = 3*x^4-8*x^3-30*x^2+72x-12        Grundfunktion

h'(x) = 12x^3-24*x^2-60*x+71                  1.Ableitung

h''(x) = 36*x^2-48*x-60                              2. Ableitung

Ich gebe nun die erste Einleitung in die Polinomdivision im Taschenrechner ein und erhalte drei Nullstellen dieser Funktion. x1 = 3,     x2 = 1,    x3 = -2   Diese drei Punkte zeigen die Hoch bzw. Tiefpunkte der 2. Ableitung an sowie die Intervalle der Monotonie auf der Grundgleichung ???

Für die Hoch und Tiefpunkt-Bestimmung gebe ich x1,x2 und x3 in die 2. Ableitung ein und erhalte Y-Werte:

h''(3) = 120

h'''(1) = -72

h ''(-2)= 180

Hoch oder Tiefpunkt bestimmen: Dafür Ich setze ich die Y-Werte der Hoch und Tiefpunkte mit den X-Werten der ersten Ableitung gegenüber und vergleiche die Größenverhältnisse:

3 < 120 Hochpunkt

1 > -72 Tiefpunkt

-2 < 180 Hochpunkt

Um die Monotonie zubestimmen, setze ich f(x)=0 und vergleiche die Intervallwerte auf X-Achse:

f(x) = 0 < 3 monoton fallend

f(x) = 0 > 1 monoton steigend

f(x) = 0 > -2 monton steigend

Ich bin jeder Hilfestellung dankbar und bitte um Erklärung und Korrektur! MfG

Answer 1

 

h'(x) = 12·x³ - 24·x² - 60·x + 72 = 0  | : 12

x³ - 2·x² - 5·x + 6 = 0

die Lösungen sind   x₁ = 3  ;  x₂ = -2  ;  x₁ = 1

Da dies einfache Nullstellen sind, hat man dort Extrempunkte von h

Wegen der Grenzwerte lim_x→±∞ h(x) = ∞  einer solchen  Polynomfunkton 4. Grades

T(-2|h(-2)) ; H(1|h(1)) ; T(3|h(3))

[ hier könnte man auch die 2.Ableitung einsetzen: z.B. h"(1) < 0 → H ; h"(3) > 0 → T, ansonsten macht das Vorzeichen von h" Aussagen über die Krummung(Wendepunkte) von h ]

Die Funktion h ist in

] - ∞ ; -2 ]   und    [ 1 ; 3 ] streng monoton fallend und in

[ 3 ; ∞ [   [ -2 ; 1 ]  streng monoton steigend

Gruß Wolfgang

Answer 2

Dein h' ist falsch.

Die Nullstellen der Ableitung geben erst einmal Möglichkeiten, ganz sicher noch keine Extremwerte.

Sie sind Kanditaten der Funktion, nicht der 2. Ableitung

Die Intervalle der Monotonie nur bei Differenzierbarkeit. Schon bei nur Stetigkeit hast Du Probleme, erst recht bei Unstetigkeit.

Du setzt gar nichts gegenüber. Die y-Werte der 2. Ableitung reichen (meist).

Für die Monotonie brauchst Du oft viele weitere Informationen, z.B. Grenzwerte im Unendlichen. Außerdem hast Du ein Problem, wenn die 2. Abl. = 0 ergibt.

Grüß,

M.B.