n-te wurzel mit komplexen zahlen

Question

Also folgende Aufgabe: (z^3)+2-2i=0. Ich konnte die Gleichung auch soweit lösen wie im Bild zu sehen und bin auf folgende Lösung gekommen. z=1+i gibt es dazu noch weitere Lösungen oder ist das die einzigste? Und wenn ja wie stellt man sicher das man alles Lösungen hat. Es ja eine Polynom 3 Grades das heißt es kann ja maximal 3 Lösungen haben. 

Answer 1

z^3 → Es gibt 3 Lösungen.

|z_1|=√8

φ =135 °((3 π)/4) --2. Quadrant

n=3

allg. Formel:

z_k= |z_1| ^{1/n} e^{i (φ +2kπ)}/n

(k=0,1,2)

eingesetzt:

z_1= 1+i

z_2 ≈ 0.37- i1.37

z_3 ≈ -1.37 +i 0.37

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Also das heißt: Wenn ich die n-te Wurzel im komplexen ziehe, ist die Anzahl der Lösungen immer der Grad des Polynoms. Das heißt man muss immer die Formel von Moivre verwenden wenn man ein Polynom höheren Grades als 1 hat. Bin nun endlich auch auf die anderen beiden Lösungen gekommen. Ich hoffe ich habe das jetzt richtig verstanden. Denn für Polynome zweiten Grades scheint es noch eine spezial Formel zu geben, aber wenn Moivre immer geht wenn der Grad größer 1 ist passt das.

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Also das heißt: Wenn ich die n-te Wurzel im komplexen ziehe, ist die Anzahl der Lösungen immer der Grad des Polynoms ------->JA

Answer 2

Also folgende Aufgabe: (z^3)+2-2i=0. Ich konnte die Gleichung auch soweit lösen wie im Bild zu sehen und bin auf folgende Lösung gekommen. z=1+i gibt es dazu noch weitere Lösungen oder ist das die einzigste? Und wenn ja wie stellt man sicher das man alles Lösungen hat. Es ja eine Polynom 3 Grades das heißt es kann ja maximal 3 Lösungen haben.

Hallo albi26, ich hacke zunächst mal auf deiner Frage herum und versuche eine vorsichtige Umformulierung:

Gegeben ist die Gleichung z^3+2-2i=0. Ich konnte sie auch soweit lösen, wie im Bild zu sehen ist, und bin auf folgende Lösung gekommen: z=1+i. Gibt es dazu noch weitere Lösungen oder ist das die einzige? Und wie stellt man sicher, dass man alle Lösungen hat? Der Term auf der linken Seite der Gleichung kann ja als eine Polynomfunktion 3. Grades aufgefasst werden; das heißt, es kann maximal 3 Nullstellen geben.

Meine Antwort: Die Gleichung hat drei Lösungen.

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Und die andere beiden Lösungen wären dann?