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Gegeben sind die Gerade g:x=(13;1;-8)+k*(2;1;-2) und der Punkt P(6|2|8).

Aufgabe: Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte C und D so, das der Flächeninhalt des Dreiecks PCD 94 beträgt.

Wäre über die Gleichung 1/2* |PD|*|CQ|= 94 daran gegangen. Q ist ein Punkt auf der Geraden g den ich zuvor mittels Lotfußpunkt Verfahren ermittelt habe.

Einmal vorrechnen wäre nett auch mit Erklärung wenn es geht!

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Es fehlt wohl noch eine Angabe, um die Aufgabe sinnvoll erscheinen zu lassen. Was weiß man über C und D?

C und D liegen auf g.

Ok, dann gilt die Gleichung

$$ d(C,D) \cdot d(g,P) = 94 \cdot 2. $$Dadurch werden C und D aber noch nicht eindeutig festgelegt.

Man soll ja auch die Koordinaten von D und C so bestimmen, dass sie mit dem Punkt C ein Dreieck mit dem Flächeninhalt 94 bilden. Man weiß nur, dass sie auf der Geraden g liegen.

Die Aufgabe habe ich schon verstanden. Allerdings ist dein Ansatz 1/2* |PD|*|CQ| = 94 falsch, die Flächeninhaltsformel für Dreiecke lautet doch "Grundseite mal Höhe durch 2".

Schonmal gut zu wissen.Wie wäre denn der richtige Ansatz?

In deiner Schreibweise:

$$ 1/2 \cdot |CD| \cdot |PQ| = 94 $$(Aber eigentlich schrieb ich das schon so ähnlich.)

Stimmt da habe ich mich vertan. Nur meine Frage ist nun wie löst man diese Gleichung?

Du kannst |PQ| ausrechnen und die Gleichung dann nach |CD| umstellen und weißt dann, wie groß |CD| sein muss.

Soweit bin ich mitlerweile auch gekommen dann lautet die Gleichung |CD|*Wurzel aus 81=188

Also |CD|=188/ Wurzel aus 81

Meine Idee wäre jetzt gewesen den Betrag als Wurzel aus (d1-c1)^2+(d2-c2)^2+(d3-c3)^2 zu schreiben. Die Klammern löse ich auf mit der 2 Binomischen Formel aber was dann ?

Meine Idee: den Term "188/ Wurzel aus 81" ausrechnen.

Dann habe ich ja den Betrag des Vektors CD nur wie komme ich dann an die Koordinaten von C und D?

Die Strecke CD kann auf der Geraden g beliebig hin und her verschoben werden, ohne dass dies Einfluss auf ihre Länge oder auf den Abstand |PQ| hat. Daher wird dadurch auch die Größe des Flächeninhalts des Dreiecks CDP nicht verändert. Geometrisch gesehen entspricht das einer Scherung der Ebene an der Parallelen von g durch P.

Die Strecke CD kann auch an einem beliebigen Punkt der Geraden g gespiegelt werden, ohne dass sich der Inhalt des Dreiecks CDP ändert. Wird nun etwa ein fester Punkt C auf g gewählt, dann gibt es immer noch zwei Möglichkeiten für den Punkt D.

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d(P, g) = ABS(([6, 2, 8] - [13, 1, -8]) ⨯ [2, 1, -2])/ABS([2, 1, -2]) = 9

A = 1/2 * g * h = 1/2 * g * 9 = 94 --> g = 188/9

Damit sollten C und D nur den Abstand 188/9 auf der Geraden haben.

k·ABS([2, 1, -2]) = 188/9 --> k = 188/27

C = [13, 1, -8] + r·[2, 1 - 2]

D = [13, 1, -8] + (r + 188/27)·[2, 1 - 2]

Und wie Gast az0815 bereits richtig erwähnt hat ist durch eine weitere Bedingung die Wahl von C und D noch nicht eindeutig bestimmt. Es gibt noch unendlich viele Lösungen.

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