Flächeninhalt Dreieck

Question

Gegeben sind die Gerade g:x=(13;1;-8)+k*(2;1;-2) und der Punkt P(6|2|8).

Aufgabe: Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte C und D so, das der Flächeninhalt des Dreiecks PCD 94 beträgt.

Wäre über die Gleichung 1/2* |PD|*|CQ|= 94 daran gegangen. Q ist ein Punkt auf der Geraden g den ich zuvor mittels Lotfußpunkt Verfahren ermittelt habe.

Einmal vorrechnen wäre nett auch mit Erklärung wenn es geht!

Comments

Es fehlt wohl noch eine Angabe, um die Aufgabe sinnvoll erscheinen zu lassen. Was weiß man über C und D?

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C und D liegen auf g.

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Ok, dann gilt die Gleichung

$$ d(C,D) \cdot d(g,P) = 94 \cdot 2. $$Dadurch werden C und D aber noch nicht eindeutig festgelegt.

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Man soll ja auch die Koordinaten von D und C so bestimmen, dass sie mit dem Punkt C ein Dreieck mit dem Flächeninhalt 94 bilden. Man weiß nur, dass sie auf der Geraden g liegen.

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Die Aufgabe habe ich schon verstanden. Allerdings ist dein Ansatz 1/2* |PD|*|CQ| = 94 falsch, die Flächeninhaltsformel für Dreiecke lautet doch "Grundseite mal Höhe durch 2".

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Schonmal gut zu wissen.Wie wäre denn der richtige Ansatz?

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In deiner Schreibweise:

$$ 1/2 \cdot |CD| \cdot |PQ| = 94 $$(Aber eigentlich schrieb ich das schon so ähnlich.)

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Stimmt da habe ich mich vertan. Nur meine Frage ist nun wie löst man diese Gleichung?

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Du kannst |PQ| ausrechnen und die Gleichung dann nach |CD| umstellen und weißt dann, wie groß |CD| sein muss.

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Soweit bin ich mitlerweile auch gekommen dann lautet die Gleichung |CD|*Wurzel aus 81=188

Also |CD|=188/ Wurzel aus 81

Meine Idee wäre jetzt gewesen den Betrag als Wurzel aus (d1-c1)^2+(d2-c2)^2+(d3-c3)^2 zu schreiben. Die Klammern löse ich auf mit der 2 Binomischen Formel aber was dann ?

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Meine Idee: den Term "188/ Wurzel aus 81" ausrechnen.

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Dann habe ich ja den Betrag des Vektors CD nur wie komme ich dann an die Koordinaten von C und D?

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Die Strecke CD kann auf der Geraden g beliebig hin und her verschoben werden, ohne dass dies Einfluss auf ihre Länge oder auf den Abstand |PQ| hat. Daher wird dadurch auch die Größe des Flächeninhalts des Dreiecks CDP nicht verändert. Geometrisch gesehen entspricht das einer Scherung der Ebene an der Parallelen von g durch P.

Die Strecke CD kann auch an einem beliebigen Punkt der Geraden g gespiegelt werden, ohne dass sich der Inhalt des Dreiecks CDP ändert. Wird nun etwa ein fester Punkt C auf g gewählt, dann gibt es immer noch zwei Möglichkeiten für den Punkt D.

Answer 1

d(P, g) = ABS(([6, 2, 8] - [13, 1, -8]) ⨯ [2, 1, -2])/ABS([2, 1, -2]) = 9

A = 1/2 * g * h = 1/2 * g * 9 = 94 --> g = 188/9

Damit sollten C und D nur den Abstand 188/9 auf der Geraden haben.

k·ABS([2, 1, -2]) = 188/9 --> k = 188/27

C = [13, 1, -8] + r·[2, 1 - 2]

D = [13, 1, -8] + (r + 188/27)·[2, 1 - 2]

Und wie Gast az0815 bereits richtig erwähnt hat ist durch eine weitere Bedingung die Wahl von C und D noch nicht eindeutig bestimmt. Es gibt noch unendlich viele Lösungen.