Wie bilde ich die Umkehrfunktion dieser Funktion

Question

y(x) = e^x2-2                                                                       

Ich weiß nicht wie ich bei e-Funktionen vorgehen muss, desweiteren frage ich mich wie ich den Definitionsbereich der Umkehrfunktion bestimmen kann.

Answer 1

y = EXP(x^2 - 2)

LN(y) = x^2 - 2

LN(y) + 2 = x^2

x = √(LN(y) + 2) oder auch x = -√(LN(y) + 2)

Ich verzichte auf das Vertauschen von x und y an dieser Stelle.

~plot~ exp(x^2-2);sqrt(ln(x)+2);-sqrt(ln(x)+2);x ~plot~

Comments

Vielen Dank für die schnelle Hilfe!!

Heißt wir "lösen" die Exponenten mit Hilfe des Logarithmus auf , formen anschließlich nach x um und ziehen schlussendlich die Wurzel um die Potenz weg zu bekommen?

Ich hoffe ich habe es richtig verstanden.

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Es gilt die goldene Regel. Enthält eine Gleichung die zu Lösende unbekannte nur an genau einer Stelle kann man direkt zur Unbekannten auflösen.

Den Logarithmus nimmst du hier um die Exponentialfunktion aufzulösen, denn die Exponentialfunktionen und die Logarithmusfunktionen sind selber Umkehrfunktionen mit der man die jeweils andere Rückgängig machen kann.

D.h.

LN(EXP(x)) = x und EXP(LN(x)) = x

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LN(y) + 2 = x² 

|x| = √(LN(y) + 2)

Ich denke, man sollte hier - damit uns der Lehrer von gindugun nicht böse ist :-) -  doch erwähnen, dass 

f : ℝ → ℝ , f₁(x) = EXP(x² - 2)   keine Umkehrfunktion hat , weil sie wegen der Symmetrie zur y-Achse nicht injektiv ist.

Nur die Funktionen mit eingeschränktem Definitionsbereich D ⊆ ℝ₀⁺  bzw. D ⊆ ℝ₀^-  mit dieser Vorschrift haben jeweils eine der beiden in der Antwort genannten Umkehrfunktionen, weil man genau dann |x|  eindeutig auflösen kann.