Wann benutze ich ≡ und wann =?

Question

Ich habe "Gleichung"

wie A ≡ g^a mod p

aber manchmal auch

A = g^a mod p

 

Wann muss ich welches Zeichen benutzen?

Answer 1

Als Zeichen für die Identität zweier arithmetischer Ausdrücke wird das " ≡ " verwendet.

Also z.B. a ≡ a.

Wir können aber meistens auch schreiben es gilt: a = a

Answer 2

Häufig verwendet man ≡, wenn einer oder beide Seiten noch von einer Variablen abhängen aber trotzdem für jeden beliebigen Wert dieser Variable gleich sind.

Z.B. der trigonometrische Pythagoras:

sin²(x) + cos²(x) ≡ 1

ganz egal, was man für x auch einsetzt.

 

Im Fall der Modulrechnung hat die Sache aber noch ein bisschen mehr Hintergrund:
Hier bedeutet das Symbol häufig, dass zwei Terme in einer Restklasse quasi identisch sind, auch wenn sie nicht die gleichen Zahlen repräsentieren.

Eine Restklasse bezüglich eines Moduls ist die Menge aller Zahlen, die bei Teilung durch den Modul den gleichen Rest haben.

Der Modul 3 besitzt z.B. 3 Restklassen:
Die Restklasse zum Rest 1: {1, 4, 7, ..., -2, -5, -8, ...}

zum Rest 2: {2, 5, 9, ..., -1, -4, -7, ...}

zum Rest 0: {0, 3, 6, ..., -3, -6, -9, ...}

Man könnte jetzt z.B. schreiben:

-6 ≡ 0 mod 3

obwohl -6 und 0 nicht das gleiche sind. Das mod 3 bezieht sich hier auf beide Seiten der Gleichung.

Vor allem, wenn klar ist, dass der Modul 3 ist, lässt man das mod 3 häufig auch weg und schreibt einfach

-6 ≡ 0

Das kann natürlich nur mit dazugehörigem Kontext richtig sein, irgendwo muss also stehen, dass das für Restbildung bezüglich 3 gilt!