Differentialgleichung y'=a*(-y+Sqrt (y^2+b) )

Question

ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter

y'=a*(-y+√(y²+b))

b kann zwar negativ sein, aber der Ausdruck unter der Formel ist immer positiv. Ich habe die Stammfunktion für die Wurzel gefunden, was längeres inklusive arcsinh aber das wird bzw. bleibt ziemlich hässlich.

Vielleicht weiß jemand eine geeignete Substitution aber mir fällt einfach nichts hilfreiches ein.

Gruß und danke,

Chris

Comments

Es ist der Normalfall, dass Lösungen von DGLn haesslich aussehen, falls man ueberhaupt welche mit elementaren Funktionen angeben kann. Schreib doch Deine Lösung hin, wenn Du sie diskutieren willst.

Answer 1

Differentialgleichung y'=a*(-y+Sqrt (y²+b) )

zugegeben , es ist etwas Schreibarbeit  :)

 

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Vielen Dank,

ich hatte noch nen kleinen Fehler, aber in die Richtung ging meine Lösung auch. Das heißt doch ich lande bei positivem b bei:

a*x= y²/(2*b) + 1/b * [ b/2 arsinh(y/√b) + y/2 √(y²+b)]

Ich hab es versucht aber das bekomme ich nicht nach y aufgelöst. Bin mir auch nicht sicher, ob das überhaupt geht.

Gruß

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Ich habe  mit der Substitution y= √b *tan(z) gerechnet und erhalten:

(y (√( b + y²)  +y) + b *ln(√ (b + y²) +y)/2b =ax+ C₁

_{Möglicherweise hast Du mit der anderen Substitution gerechnet?}

_{Auf jeden Fall kannst Du das nicht nach y auflösen . Somit bleibt das Ergebnis in impliziter Darstellung so stehen.}

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Ich hab es mir einfach gemacht und mit c²=b substituiert und dann das Integral von √(y²+c²) in einer Tabelle mit Stammfunktionen nach gekuckt. Aber ich denke mal, das entspricht der von dir vorgeschlagenen Substitution mit y=√b*sinh(z) und ist eben der Weg für b>0. Für b<0  gilt dann dein letzter Kommentar.

Weil du schreibst, auf "jeden Fall". Gibt es eine Regel oder woran erkenne ich, wenn ich das nicht (in diesem Fall) nach y auflösen kann?

Vielen Dank nochmal