Inhomogenes Differentialgleichungssystem: y1'=4y1+y2, y2'=y2+e^x . Leider nur ein doppelter Eigenwert. Invertierbar?

Question

Ich hoffe es kann mir jemand helfen.
Die Aufgabe lautet:

Bestimmen Sie alle Lösungen des inhomogenen Differentielgleichungssystems
y₁'=4y₁+y₂
y₂'=y₂+e^x

Generell weiß ich den ablauf um solche Aufgaben zu lösen.
Wir haben es immer so gemacht:
Homogenes System betrachten:
 - Eigenwerte/Eigenvektoren bestimmen
 - Lösung des homogenen Systems Φ(x) bestimmen
 - u(x) bestimmen mit u(x)=∫ Φ(x)^-1 * inhomogenität
 - Lösung Ψ(x) bestimmen mit Ψ(x)= Φ(x) * u(x)

Mein Problem in dieser Aufgabe liegt an der Stelle, an der man die Lösung des homogenen Systems bestimmen soll. Bis jetzt war es immer eine Matrixkonstruktion aus e^{Eigenwert * x} * Eigenvektor für jedes Spalte der Matrix jeweils mit eigenem Eigenwert(-vektor). Ich weiß bei dieser Aufgabe nur leider nicht sicher wie ich mich verhalten soll, da es nur einen Eigenwert gibt, der dafür ein 'doppelter' ist. Ist es dann trotzdem eine 2*2-Matrix mit 2 identischen Spalten, oder einfach nur ein Vektor oder ist es etwas komplett anderes?

Ich hoffe mir kann jemand helfen.
 

Comments

Ich hätte jetzt vielleicht selbst einen Ansatz.
Es gibt zwei unabhängige Eigenvektoren (0,0) und (1,0) aus denen lässt sich die Lösung des homogenen Systems Φ(x)=((0, e^x), (0, 0)) bestimmen.
Wenn das stimmt habe ich aber wieder ein neues problem. Die Determinante ist =0. Dadurch ist Φ(x) ja nicht invertierbar. Aber ich muss Φ(x) für eine Lösung invertieren.

Answer 1

Bestimmen Sie alle Lösungen des inhomogenen Differentielgleichungssystems
y₁'=4y₁+y₂
y₂'=y₂+e^x

^{Alternativ kannst Du dieses System auch durch Variation der Konstanten berechnen}