Bruchungleichung mit Betrag: (2 + |x|) / ( |x| ) <= 3

Question

Folgende Gleichung:

(2 + |x|) / ( |x| )  <= 3

Ich habe hier 4 Fälle, nur weiß ich manchmal nicht, wann kommt ein Minus Vorzeichen und wann nicht?

Answer 1

Multiplikation mit IxI ergibt 2 + |x| ≤ 3·|x| und dann 2 ≤ 2·|x| oder 1≤ IxI. Dann ist x≤-1 v x≥1.

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Meine Fälle:

1/     x>0 und x>0
2/     x>0 und x<0
3/     x<0 und x>0
4/     x<0 und x<0

warum beachtet man den 2 und 3 Fall nicht?

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DH !

Wenn ich mir die anderen Antworten ansehe, muss ich bemerken, dass es in der Mathematik nicht wie im Deutschen darum geht möglichst viel zu schreiben, sondern möglichst klar einfach und elegant zur Lösung zu gelangen.

Auch wenn man den obigen Einzeiler natürlich schöner in 3 Zeilen schreiben könnte, ist es genau so eine Antwort die ich gut finde.

Aber der Fragesteller sollte dann dazu angehalten sein mehrere Zeilen zu schreiben und Äquivalenzstriche zu setzen.

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2/     x>0 und x<0 
3/     x<0 und x>0 

warum beachtet man den 2 und 3 Fall nicht?

Wie kann den x gleichzeitig kleiner und größer als Null sein. Das musst du mir mal erklären.

Weiterhin gibt es oben nach der Umformung nur noch einen Betrag von x. Also nur noch einen Betrag und damit eh nur eine Unterscheidung.

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oh man sry....

DANKE! :)

Answer 2

(2+|x|)/|x|<=3 | *|x| ,|x|>0

2+|x|<=3*|x|

Fallunterscheidung:

i) x>0: --> |x|=x

2+x<=3*x

2<=2x

1<=x

ii) x<0: --> |x|=-x

2-x<=-3x

2<=-2x

-1>=x

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Meine Fälle:

1/     x>0 und x>0
2/     x>0 und x<0
3/     x<0 und x>0
4/     x<0 und x<0

warum beachtet man den 2 und 3 Fall nicht?

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x>0 und x<0 ?

Es gibt gar keine Zahl, die beide  Bedingungen zu gleich erfüllt ;)

Answer 3

da beide Beträge gleich sind, kannst Du auf 2 Fälle reduzieren:

(i) \(x > 0\):

$${2+x \over x} \leq 3$$

$$2+x \leq 3x$$

$$2 \leq 2x$$

$$1 \leq 1x$$

(ii) \(x < 0\):

$${2-x \over -x} \leq 3$$

$$2-x \geq -3x$$

usw.

Grüße,

M.B.

Comments

zu ii) x< 0

wenn x < 0 gilt und du multiplzierst mit  -x , dann dreht sich das Ungleichheitszeichen nicht um:

\(\frac{2-x}{-x}\) ≤ 3  | * (-x) > 0  

2 - x  ≤  -3x

...

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Meine Fälle:

1/     x>0 und x>0
2/     x>0 und x<0
3/     x<0 und x>0
4/     x<0 und x<0

warum beachtet man den 2 und 3 Fall nicht?

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2/     x>0 und x<0 
3/     x<0 und x>0 

Welche Zahl x soll denn eine dieser Fallbedingungen erfüllen?

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:D

sry mein Fehler

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an Wolfgang:

Du hast recht, weil x < 0 ist -x > 0. (Und wenn ich weitergerechnet hätte, wäre das auch aufgefallen.)

An hakk:

Weil Fall 2 und Fall 3 Widersprüche sind.

Aber Fallunterscheidungen bei Beträgen sind \(\dots \geq 0\) bzw. \(\dots < 0\). Insofern ist einer der beiden ein Widerspruch, und der andere führt auf \(x = 0\), was aber auch nicht erlaubt ist.

Grüße,

M.B.