Textaufgabe zur Finanzmathematik

Question

Ich habe hier eine Matheaufgabe zur Finanzmathematik, die ich lösen soll. Habe aber leider keine Ahnung welche Formeln ich anwenden muss und wie ich vorgehen soll.

Die Aufgabe lautet:

Du (18 Jahre alt) möchtest durch einen monatlichen Betrag von 40€ zu deinem 65. Geburtstag ein solches Kapital angespart haben, dass die jährlichen Zinsen 1500€ betragen. Wie lange musst du ab heute bei einem Zinssatz von 4% einzahlen? (Der Zinssatz ist aufs Jahr bezogen und die Zahlungen nachschüssig)

für eure Hilfe!

Answer 1

Hallo leela,

ich gehe von einer vorschüssigen Ratenzahlung am Anfang jeden Monats aus (eine dbzgl.  Angabe fehlt in der Aufgabe):

[ Nachtrag: Lösung für "nachschüssig" in meinem letzten Kommentar ]

Kapital K, das nach 65 Jahren vorhanden sein muss, um dann jährlich 1500 € Zinsen zu erhalten:

0,04 * K = 1500€  →  K = 1500€ / 0,04 = 37500 € 

Jetzt benötigt man die "Jahresersatzrate" r  für die monatliche Rate von 40 € :

r = r_m  * (12 + (n+1)/2 * i)  = 40€ * (12 + 13/2 * 0,04)  = 490,40 €

Dann gilt:

x sei die gesuchte Anzahl der benötigten Einzahlungsjahre:

K = r * q * (q^x - 1) / (q-1) * q^65-18-x     (# vgl. unten)

Hier wird x Jahre lang das "Grundkapital" durch die Jahresersatzrate (ersetzt 12 Monatsraten) aufgebaut.

Hier wird dieses Grundkapital nach x Jahren für die restlichen Jahre bis zum 65, Geburtstag weiter verzinst.

37500 = 490,4 ·1,04·(1,04^x - 1) / 0,04 · 1,04^47-x

Auflösen nach x:

37500*0,04 / (490,4*1,04) = (1,04^x - 1) * 1,04^47-x

Links ausrechnen, rechts ausmultiplizieren:

 2,941084201 = 1,04⁴⁷ -  1,04^47-x 

1,04^47-x =  1,04⁴⁷ - 2.941084201 = 3,376731416

Auf beiden Seiten ln anwenden, dann links  ln(a^u) = u * ln(a):

(47-x) * ln(1,04) = ln( 3,376731416)

47- x = ln(3,376731416)) / ln(1,04)

x = 47 - ln(3,376731416) / ln(1,04)

x ≈ 15,973   [Jahre]

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#  Genauer müsste in der Rechnung im ersten Jahr ab und im letzten Jahr bis zu dem Geburtstag unterjährig  verzinst werden. Aber dazu müsste das Geburtsdatum gegeben sein. Im Ergebnis spielt das aber keine große Rolle.

Gruß Wolfgang

Comments

1500/0,04 = 37500

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Lästige Tippfehler am Anfang einer längeren Rechnung, danke für den Hinweis. Habe es eingearbeitet.

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Ansonsten eine Top-Leistung. Bist echt klasse. Respekt und alle Hochachtung.

Du hast es echt drauf, wie man überall sehen kann.

Schönes Wochenende. :)

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Danke für das Kompliment. Auch dir ein schönes Wochenende.

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Vielen lieben Dank, Wolfgang!

Du hast mir wirklich super geholfen! Ich hätte aber noch ein paar Fragen:

1. Es fehlt zwar die Angabe in der Aufgabe, aber daneben war zusätzlich angegeben, (wie ich in Klammern geschrieben habe) dass alle Zahlungen nachschüssig sind. Deshalb bin ich mir da eben nicht ganz sicher. Wenn ich nachschüssig rechne, mache ich ja dasselbe nur, dass ich einmal nicht mit q, also 1,04 multipliziere, stimmts?

2. Mir ist nicht klar was dies für eine Formel ist: r = r_m  * (12 + (n+1)/2 * i)  Ich habe die Formel für die Jahresersatzrente so gefunden: r E = r m ⋅ ( m + i/2 ·( m + 1 ))

3. Du hast einmal folgende Formel verwendet: K = r * q * (q^x - 1) / (1-q) * q^65-18-x  Ich habe sie immer in dieser Form gesehen: K = r * q * (q^x - 1) / (q-1) Ist es egal ob 1-q oder q-1? 

4. Am Schluss ist mir nicht klar, wieso du zuerst von ln(0,04) schreibst und dann ln(1,04) in der Zeile darunter. Stimmt das so oder meintest du beide Male ln(1,04)? 

Wäre wirklich toll, wenn du mir diese Fragen noch beantworten könntest, auch wenn es für dich logisch erscheint, ich kenne mich nicht so gut aus. 

liebe Grüße & danke vielmals,

leela

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1. Stimmt, aber bei der Jahresersatzrate musst du dann

          mit  40 * (12 + (12 -1)/2 * 0,04)  = 488,80 € rechnen.

       Es ergibt sich dann  x = 16.9554 Jahre

2. für Monatsraten ist das das gleiche, m=12

3. 1- q  war bei mir in der Formel ein Schreibfehler (korrigiert).

         Habe aber mit  q -1 = 1,04 - 1 = 0,04 richtig gerechnet .

4. es muss immer ln(1,04) heißen (war einmal ein Tippfehler)

Auch dir liebe Grüße und immer wieder gern :-)

P.S.  Wenn es dir hilft, schreibe ich dir Rechnung auch nachschüssig hin ??

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Hallo Wolfgang,jetzt ist mir alles klar! :) 
Wenn es dir nicht zu viele Umstände macht würde es mir wirklich helfen die Rechnung auch nachschüssig zu sehen, da es eben unklar ist ob vor oder nachschüssig gemeint ist. 
Und nochmals danke für die vielen detaillierten Antworten! Das ist wirklich super nett von dir! :) lg

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In der Aufgabe ist von "nachschüssig"  die Rede. :)

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Bei einer nachschüssigen Ratenzahlung am Ende jeden Monats sieht das so aus:

Kapital K, das nach 65 Jahren vorhanden sein muss, um dann jährlich 1500 € Zinsen zu erhalten:

0,04 * K = 1500€  →  K = 1500€ / 0,04 = 37500 € 

Jetzt benötigt man die "Jahresersatzrate" r  für die monatliche Rate von 40 € :

r = r_m  * (12 + (n-1)/2 * i)  = 40€ * (12 + 11/2 * 0,04)  = 488,80 €

Dann gilt:

x sei die gesuchte Anzahl der benötigten Einzahlungsjahre:

K = r * (q^x - 1) / (q-1) * q^65-18-x    

Hier wird x Jahre lang das "Grundkapital" durch die Jahresersatzrate (ersetzt 12 Monatsraten) aufgebaut.

Hier wird dieses Grundkapital nach x Jahren für die restlichen Jahre bis zum 65, Geburtstag weiter verzinst.

37500 = 488,8 · (1,04^x - 1) / 0,04 · 1,04^47-x

Auflösen nach x:

37500*0,04 / 488,8  = (1,04^x - 1) * 1,04^47-x

Links ausrechnen, rechts ausmultiplizieren:

  3,06873977  = 1,04⁴⁷ -  1,04^47-x 

1,04^47-x =  1,04⁴⁷ -   3,06873977  = 3,249075846

Auf beiden Seiten ln anwenden, dann links  ln(a^u) = u * ln(a):

(47-x) * ln(1,04) = ln(3,249075846)

47- x = ln(3,249075846)) / ln(1,04)

x = 47 - ln(3,249075846) / ln(1,04)

x ≈ 16.9554   [Jahre]

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Tausend Dank, Wolfgang! Das war wirklich super nett von dir! :)

Answer 2

wenn du 17 Jahre lang in der Form sparst, hast du 11583,34

Diese werden dann ja noch 30 Jahre lang mit 4% verzinst, das gibt

dann  37569,37   und davon jedes Jahr 4% gibt 1502,77

Comments

Hallo mathef,

danke für deine Antwort! Ich bräuchte jedoch auch den Rechenweg und die Formeln, die du dafür verwendet hast, da ich verstehen möchte wie du darauf gekommen bist. Wäre wirklich nett, wenn du mir das etwas genauer erklären könntest.

lg

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Die Formeln stehen alle in der Lösung.

Es geht um die Endwertformel und die Formel zur Berechnung der Jahresersatzrate (Sparbuchmethode)