Warum reicht hier die Information, dass ein Teildreieck gleichseitig ist, um den Flächeninhalt zu bestimmen?

Question

Warum reicht die Information, dass ein Teildreieck gleichseitig ist, um den Flächeninhalt zu bestimmen?

Im Buch stehen verschiedene Aussagen, wo man je überprüfen soll, ob sie allein ausreichen damit den flächeninhalt von ABC bestimmen kann.

Bei der folgenden Aussage verstehe ich aber nicht, warum sie ausreicht um den besagten flächeninhalt zu berechnen:

1) DBC ist ein gleichseitiges Dreieck.

Klar ist mir, dass dann der Winkel bei C 60 ist und der Winkel bei B ist in bezug auf das Dreick ABC ja eh 90, dementsprechend, ist der Winkel bei A 30. Aber warum kann man dann mit den gebenen Infos die Seite BC berechnen? (Um dann  mit 1/2 * AB * BC den Flächeninhalt zu berechnen?)

 

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Comments

Ist DBC ein gleichseitiges Dreieck, muss ADB gleichschenklig mit Basis AB sein. Dann gilt AD=DB=BC.

Answer 1

ABC BHbC und ABHb sind durchaus ähnliche Dreiecke.

Man kann aber auch den Pythagoras verwenden.

(2 DB)^2 = DB^2 + 100*3

3 DB^2 = 3*100

DB^2 = 100

DB = 10

 

Comments

Oh. Sehr schöne Lösung. Das ABD ein gleichschenkliges Dreieck ist soweit hatte ich gar nicht geschaut.

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Ja. ABD ist gleichschenklig.

Answer 2

Hi, AB ist bekannt, die drei Dreiecke sind zueinander ähnliche, 30:60:90-Dreiecke, deren Seitenlängen in einem bestimmten Verhältnis zueinander stehen. Benutzt man das (insbesondere bei derartigen Aufgaben!) spart man viel überflüssiges Herumgerechne.

Comments

Meinst du damit, dass in einem 30 60 90 Dreieck die seiten bestimmt werden können, wenn eine Seitenlänge bekannt ist, weil das Verhältnis zu den seiten in bezug zu den winkeln gleich ist?

In dem Beispiel wäre dann also die gegenüberliegende seite von Winkel B (90 grad) die längste und steht im gleichen verhältnis wie die gegeüberliegende seite von winkel C (60 grad) deren länge bereits bekannt ist?

Und genauso bestimmt man dann auch die seitenlänge gegebüber von Winkel A (30 grad), weil auch diese im gleichen verhältnis steht, wie von die seie AB zum 60 grad winkel?

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(Ich meinte damit, dass man alle Längen aller drei beteiligten Dreiecke ohne Pythagoras, ohne Winkelfunktionen und ohne Taschenrechner ganz ohne Mühe mit Papier und Bleistift mithilfe der Seitenverhältnisse berechnen kann. Das ist aber ein Geheimnis, also bitte nicht weitersagen!)

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Wo siehst du hier drei ähnliche Dreiecke?

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Ich habe den Satz "1) DBC ist ein gleichseitiges Dreieck." übersehen und bin von DB als Höhe ausgegangen. Daher ist meine Antwort leider völlig unsinnig, da nicht zur Aufgabe passend. Vergiss sie!

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Naja, von der Behauptung, die drei Dreiecke seien ähnlich, mal abgesehen stimmte ja alles; d.h. die Seitenlängen des Dreiecks ΔABC haben diese Verhältnisse.

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Na, da hast Du auch wieder recht! :-)

Answer 3

Man kennt die Länge der Seite AB

Man kennt Winkel DCB = 60 Grad

Man kennt den Winkel ABC = 90 Grad

Man kennt Winkel BAC = 90 - 60 = 30 Grad.

Damit ist das Dreieck gemäß WSW kongruent und kann berechnet werden.

Comments

BC lässt sich ohne Probleme mit dem Sinussatz berechnen. Das war ja aber nicht gefragt.

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Das Dreieck ist kongruent? Zu welchem anderen denn? Meinst du etwas wie "eindeutig bestimmt"?

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Ja. Alle Dreiecke die in einer Seite und zwei anliegenden Winkeln übereinstimmen sind zueinander kongruent und damit eindeutig bestimmt. Dann lassen sich auch alle anderen Werte des Dreiecks berechnen.

Answer 4

Berechnung über Trigonometrie :

Ausführlich :

Gegenkathete = Strecke (AB) = 10 * √ 3
Winkel in C = 60 °
gesucht : Ankathete (BC)

tan(60 °) = (AB) / ( BC)
(BC) = (AB) / tan(60 °)
(BC) = 10 * √ 3 / 1.732
(BC) = 10

A = (AB) * (BC) /2
A = 86.6

mfg Georg