Gegen was strebt diese Funktion, wenn x gegen 0 strebt und der Satz von de l`hospital angewendet wird?

Question

                                                             

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Hallo ich habe hier nochmals eine Aufgabe, bei der ich schon einiges verscuht habe aber nicht auf die Lösung (e^-1/2) komme : (.

Könnt ihr mir bitte helfen?

Am besten Tipps zum berechnen, damit ich nächstes mal selber drauf komme!

Answer 1

Hi,

nutze die Umformung mittels e-Funktion und Logarithmus.

$$\lim \left(\frac{\sin(x)}{x}\right)^{\frac{3}{x^2}} = \lim exp\left(\ln\left[\left(\frac{\sin(x)}{x}\right)^{\frac{3}{x^2}}\right]\right) = \lim exp\left(\frac{3}{x^2}\ln\left[\left(\frac{\sin(x)}{x}\right)\right]\right)$$

Mit etwas Schreibarbeit kommst Du auf 1/√e.

Grüße

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Also muss ich keinen Satz mehr anwenden, weil der Zähler gegen -unend. und der Nenner gegen +unendlich strebt?

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Könntest du den Rechenweg verraten?

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Gegen unendlich? Gegen 0 meinst Du. Du hast den Fall "0/0" vorliegen und kannst l'Hospital verwenden. Musst das sogar mehrmals tun. Würde Dir meine Aufschriebe zur Verfügung stellen, aber wegen des Aufwands war ich sehr schludrig und man kann nichts dran lesen haha.

Ich habe l'Hospital dreimal anwenden müssen.

Wenn Du hängst kann ich Dir Zwischenschritte angeben :P.

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> etwas Schreibarbeit :-)

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@Rambazamba: Ich kann Dir mal angeben, was ich nach den Ableitungen habe. Hoffe die sind fehlerfrei (habe teils "unwichtige Summanden" direkt entfernt).

Brauch aber eine Weile mit Latex. Moment.

@Wolfgang: Hast Du eine schnellere Idee oder stimmst Du mir insofern zu, als dass Du das sogar als Untertreibung ansiehst? :P

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Es kommt e^-1/2 heraus. Das stimmt.

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Ich mein dein Ergebnis stimmt. Aber deine Zwischenerg. wären mir sehr hilfreich

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Ausgangsbasis

$$\lim exp\left(\frac{3}{x^2}\ln\left[\left(\frac{\sin(x)}{x}\right)\right]\right)$$

Wenn Du nicht siehst, dass der Logarithmus gegen 0 geht, musst Du das noch seperat zeigen :P.

Der Übersicht wegen die e-Funktion weggelassen. Ändert ja nix an der Anwendung der Grenzwertsätze

1. Anwendung des l'Hospital, da "0/0"

$$\lim \frac32 \frac{x\cos(x) - \sin(x)}{x^2\sin(x)}$$

Das ist wieder direkt ein Fall für den l'Hospital, da "0/0"

2. Anwendung

$$\lim \frac32\frac{-\sin(x)}{x\cos(x) + 2\sin(x)}$$

3. Anwendung

$$\lim-\frac{3}{2}\frac{-\cos(x)}{x\sin(x) - 3\cos(x)}$$

Nun kann man denn Grenzwert einsetzen:

$$-\frac32 \cdot \frac{-1}{-3} = -\frac{1}{2}$$

Nun wieder die e-Funktion dransetzen:

$$e^{-\frac12} = \frac{1}{\sqrt e}$$

There you go. Beachte bitte, dass ich noch teils kleinere Umformungsschritte zwischen den Anwendungen des l'Hospital gibt. Keine Ahnung ob man das hätte schneller machen können ^^.

Alles klar?

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Kannst du mir erzählen, wie man das zu Beginn gleich bemerkt, dass der Graph gegen 0 im Zähler verläuft?

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Du kannst für den Numerus schnell den l'Hospital anwenden. Oder aber sin(x) als Potenzreihe darstellen. Der Numerus geht gegen 1 und damit der Logarithmus gegen 0.

Bei mir einfach Erfahrung :P.

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Kannst du mir erzählen, wie man das zu Beginn gleich bemerkt, dass der Graph gegen 0 im Zähler verläuft?

Meinst du hier den Zähler 3·(x·COS(x) - SIN(x))

Setze mal für x einfach 0 ein

3·(0·COS(0) - SIN(0)) = 3·(0 - 0) = 0

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Ich glaub es war ln(sin(x)/x) gemeint :). Darauf bezog sich mein Kommentar zuvor. War vielleicht etwas knapp gehalten.

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Oder meinst du schon früher

3·LN(SIN(x)/x)

SIN(x) verhält sich für x nahe bei 0 wie x. Damit nähert sich SIN(x) / x zu 1 an. LN(1) ist aber 0.

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Ansonsten kann man den Grenzwert von SIN(x) / x natürlich auch über L'Hospital untersuchen.

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Wie kommt denn Unknown auf die - 3/2 vor den einsetzen?

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Alleine über L'Hospital

Du musst solange L'Hospital anwenden, bis du keinen unbestimmten Ausdruck mehr hast.

Answer 2

Hallo

$$\left({\sin x \over x}\right)^{3/x^2}$$

$$= \exp\left( \ln\left( \left({\sin x \over x}\right)^{3/x^2} \right) \right)$$

$$= \exp\left( {3 \over x^2} \ln\left( {\sin x \over x} \right) \right)$$

Dann rechnest Du

$$a = \lim_{x \to 0} {3 \over x^2} \ln\left( {\sin x \over x} \right)$$

und rechnest dann noch

$$e^a$$

Grüße,

M.B.

Comments

Kannst du die Zeile nach  "Dann rechnest du" etwas genauer erläutern?

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Du machst exp und ln gleichzeitig. Das hebt sich normalerweise gegenseitig weg, hat aber hier den Vorteil, dass Du den Exponenten nach vorne holen kannst. Statt einer Potenz hast Du nun eine Multiplikation.

Da exp stetig differenzierbar in ganz R ist, reicht es, den Grenzwert des Argumentes zu berechnen, das ist einfacher. Du musst diesen Grenzwert aber anschließend dennoch mit exp verrechnen.

Dein Argument ist hier allerdings immer noch ein unbestimmter Ausdruck, den Du noch etwas umformen musst, dann kannst Du L'Hospital anwenden.

Grüße,

M.B.

Answer 3

nutze (sin(x)/x)^{3/x^2}=exp(LN((sin(x)/x)^{3/x^2}))

=exp(3*LN((sin(x)/x)/x²)

Zu betrachten ist also der Grenzwert von

3*LN((sin(x)/x)/x² für x gegen 0 (da e-Funktion stetig)

Dafür kann man auch LN(sin(x)/x) bei x=0

Taylor entwickeln.

Es gilt bekannterweise  lim x--->0 sin(x)/x=1

Also entwickelt man LN(z) an z=1 (z=sin(x)/x)

LN(z)≈z-1=sin(x)/x-1

Und jetzt noch sin(x)/x bei x=0 entwickeln:

sin(x)/x≈1-x²/(6)

---> LN(sin(x)/x)≈ -x²/6

lim x--->0 3*LN((sin(x)/x)/x²=lim x---> 0 -3/6 *x²/x²

=-3/6=-1/2

---> gesuchter Grenzwert ist e^-1/2

Comments

Hey Unknown.. Wie kommst du auf das Ergebnis nach der ersten Anwendung? Ich häng das schon

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Nächstes Mal die Frage unter meinr Antwort setzen, damit ich eine Meldung bekomme :). In der anderen frage beantwortet? :)

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Nein..Könntest du mir den genauen Rechenweg wenigstens bis nach der ersten Anwendung verraten?

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wenn du lhospital anwenden möchtest, musst du einmal den Zähler LN(sin(x)/x) ableiten und dann den Nenner x².

Die Er

Zähler:

Zur Vereinfachung kann man ein Log-Gesetz verwenden:

LN(sin(x)/x)=LN(sin(x))-LN(x)

Jetzt summandenweise ableiten:

[LN(sin(x))-LN(x)]'=COS(x)/sin(x)-1/x

=cot(x)-1/x

Nenner ableiten ergibt 2x

Also Grenzwert=lim x--->0 (cot(x)-1/x)/(2x)

Aber das hat Unknown schon oben bei sich hin geschrieben ;)

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Wo gehen die sin(x) hin?

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Warum ergibt cos(x)/sin(x)-1/x=cos(x)-1/x?

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Hi, da steht cot(x)

Es gilt cos(x)/sin(x)=cot(x)

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Wie kommt unknown auf die -3/2?

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Vor dem Einsetzen

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Okay..Ich hab es thx

Answer 4

Grenzwert bestimmen