Geben Sie ein Beispiel einer nicht-abelschen Gruppe G an, mit (gh)6 = g6h6 für alle g,h ∈ G.

Question

(a) Zeigen Sie, dass eine Gruppe G abelsch ist dann und nur dann, wenn (gh)^2 = g^2 h^2 für alle g,h ∈ G.

(b)Geben Sie ein Beispiel einer nicht-abelschen Gruppe G an, mit (gh)^6 = g^6 h^6 für alle g,h ∈ G.

Also bei a) habe ich jetzt

ab=ba → (gh)^2 = g^2 h^2 → bei Produkt gilt immer a*b = b*a

Daher folgt g^2 h^2 = h^2 g^2

Geht das so?

Aber jetzt verstehe ich das nicht bei b) was ich da genau machen muss weil im Prinzip ist die Gleichung doch auch abelsch oder?

Ich finde mich in das komplette Thema einfach nicht rein :( wäre echt nett wenn ich da Hilfe bekommen könnte)

Answer 1

Es ist (gh)² = (gh)(gh) laut Definition von Potenzen. Du sollst ausgehend von der Kommutativität der Gruppe zeigen, dass (gh)(gh) = g²h² ist. Dabei solltest du bei jedem Umformungschritt angeben aufgrund welches Axioms oder Satzes du die Umformung durchführen darfst. Ich mache mal den Anfang:

    (gh)²

    = (gh)(gh) laut Definition Potenzen

    = ((gh)g)h laut Assoziativgesetz

    = (g(hg))h laut Assoziativgesetz

    = (g(gh))h weil G abelsch ist

und  so weiter, bis du  bei g²h² angekommen bist. Dann hast du gezeigt: wenn G abelsch ist, dann ist (gh)² = g²h² für alle g,h ∈ G.

Außerdem musst du die andere Richtung noch zeigen: wenn (gh)² = g²h² für alle g,h ∈ G ist, dann ist G abelsch.

"--> bei Produkt gilt immer a*b = b*a  "

Was soll hier der Pfeil bedeuten?

> Aber jetzt verstehe ich das nicht bei b) was ich da genau machen muss

Du musst ein Beispiel einer nicht-abelschen Gruppe G angeben, in der (gh)⁶ = g⁶ h⁶ für alle g,h ∈ G gilt. Mein Ansatz dazu wäre, ein Computerprogramm mittels GAP zu schreiben (ich habe mich mit dem Programm noch nicht auseinandergesetzt, vermute aber, dass das möglich ist).