Logik, Beweisarten: Aussagen anhand Kriterien formulieren

Question

Folgende Aussage unter alleiniger Benutzung der Zeichen ∀, ∃, ∧, ∨, ¬, der Abkürzung prim(x) für ”x ist Primzahl“ und der ”atomaren“ Formeln ab = c, a = 1 und b = 1 formulieren.

(Zur Vereinfachung seien dabei alle betrachteten Zahlen stets als naturliche Zahlen vorausgesetzt, ohne dass dies extra gesagt werden soll; die Quantoren ∀, ∃ sollen nur ein Argument haben, d.h. z.B. ∀a,b,c ist verboten und durch ∀a∀b∀c  auszudrucken.)

Aussage:

"Wenn es eine Primzahl gibt, so folgt für drei Zahlen a, b, c mit der Eigenschaft ab = c stets, dass a = 1 oder b = 1 ist." 

Kann mir jemand einen Tipp geben, wie man diese Aufgabe angehen sollte?

Answer 1

Zunächst wäre es ja so ( wenn man ⇒ benutzen dürfte )

( ∃x  prim(x) )   ⇒  (  ∀x∀y∀z  (ab=c) ⇒ ( a=1 )  v  (b=1 ) ) 

Nun kennst du sicher  a ⇒ b  ist das gleiche wie ¬ a  v  b

Damit bekommt man das erste ⇒ weg und hat

¬  ( ∃x  prim(x) )  v   (  ∀x∀y∀z  (ab=c) ⇒ ( a=1 )  v  (b=1 ) ) 

also

∀x  ¬  prim(x)    v   (  ∀x∀y∀z  (ab=c) ⇒ ( a=1 )  v  (b=1 ) ) 

dann das zweite   Folgerungszeichen wegschaffen

∀x  ¬  prim(x)    v   (  ∀x∀y∀z  ¬(ab=c)  v  ( a=1 )  v  (b=1 ) )

Comments

Hi, danke für deine Antwort. Warum steht beim zweiten Folgerungszeichen das "Nicht" (¬) genau da wo es steht und nicht z.B. vor "∀x∀y∀z" ?

---

Ich hätte es nämlich vor das ∀x∀y∀z gesetzt und wäre auf ein anderes Érgebnis gekommen...

---

Warum steht beim "wegbekommen" des zweiten Folgerungszeichen das "Nicht" (¬) genau da wo es steht und nicht z.B. vor "∀x∀y∀z" ?