Sind die folgenden Aussagen wahr?

Question

Bei folgenden Aussagen bin ich mir nicht sicher, ob ich da richtig heran gegangen bin:

1.) ∃n ∀x  [(x² + x + n = 0) ⇒ (x ≤ 0)]

Müsste bedeuten: "Es exisitiert ein n für alle x sodass aus (x² + x + n = 0) folgt (x ≤ 0)". (x² + x) ist für x∈(∞,-1) und x∈(0,∞) größer 0 und für x∈[-1,0] kleiner/gleich 0. Für x∈[-1,0] ist der Wertebereich [-0.25,0](also für die Parabel (x² + x)) . Ist n = -y (y∈[-0.25,0]),dann ist x für (x² + x + n = 0) immer kleiner/gleich 0. Also müsste die Aussage stimmen.

2.) ∀x ∃n  [(x² + x + n = 0) ⇒ (x ≤ 0)]

Müsste bedeuten:"Für jedes x exisitiert ein n, sodass aus (x² + x + n = 0) folgt (x ≤ 0)". Für alle x∈(∞,-1) existieren zwar n sodass (x² + x + n = 0), aber man kann nicht eindeutig schlussfolgern dass (x ≤ 0) (da es ja eine Parabel ist und somit auch ein x∈(0,∞) die Gleichung erfüllt wenn n∉[0.25,0]). Also dürfte die Aussage nicht stimmen.

3.) ∀n ∀x  [(x² + x + n = 0) ⇒ (x ≤ 0)]

Müsste bedeuten."Für jedes beliebige Paar von n und x gilt, wenn (x² + x + n = 0) folgt (x ≤ 0)". Selbe Argumentation wie bei (2), dürfte also nicht stimmen.

Liege ich richtig? Falls nicht bin ich schon im Voraus für jegliche Hinweise/Ratschläge dankbar.

Comments

Du hast vergessen anzugeben aus welchem Bereich \(x\) und \(n\) kommen. Sind beides reelle Zahlen oder ist \(n\) eine natürliche Zahl?

Answer 1

> ∃n ∀x  [(x² + x + n = 0) ⇒ (x ≤ 0)]

Auf deutsch: Es gibt ein n, so dass die Funktion f(x) = x² + x + n keine positiven Nullstellen hat. Die Aussage ist wahr, weil +n die Parabel der Funktion nach oben oder unten verschiebt und jede Parabel so verschoben werden kann, dass sie überhaupt keine Nullstellen mehr hat.

> ∀x ∃n  [(x² + x + n = 0) ⇒ (x ≤ 0)]

Gilt ebenfalls. Beispiel x=3. Berechne n so, dass f(x) = x² + x + n bei x=3 keine Nullstelle hat.

> ∀n ∀x  [(x² + x + n = 0) ⇒ (x ≤ 0)]

Stimmt nicht. Beispiel: x=1, n=-2.