Wie berechne ich den Schnittpunkt von x³+1 und (x+1)*(x+2) ohne raten?

Question

Wie berechne ich den Schnittpunkt von x³+1 und (x+1)*(x+2) ohne raten?

 

Answer 1

Die Schnittpunkte werden berechnet in dem die beiden Funktionen  gleichgesetzt werden.

Beachte  x³+1=(x+1)*(x²-x+1)

dann:

(x+1)*(x²-x+1)=(x+1)*(x+2)   |  teilen durch(x+1)   x₃=-1

           x²-x+1=x+2                | -x,-2

           x²-2x-1=0                  pq-Formel anwenden

           x_1,2=1±√2  

Für die y -Werte oben einsetzen in die Ausgangsfunktionen.

S₁(-1|0)    S₂(1+√2| 15,08  )     S₃(1-√2| 0,9)  gerundet

 

Comments

Tipp für alle, die das gerade sehen: Man kann beim neuen Graphen-Einbetter auch bei den Punktkoordinaten den Funktionsterm mit Werten einsetzen. 

~plot~x^3+1;(x+1)*(x+2);{-1|0};{1+sqrt(2)|(1+sqrt(2))^3+1};{1-sqrt(2)|(1-sqrt(2))^3+1|0}~plot~

Dabei ist mir übrigens aufgefallen, dass in der Lösung die 0,9 zu stark gerundet ist. Besser wäre 0,9289.

Answer 2

Für die erste Nullstelle ist Raten ist eigentlich üblich.

Du erkennst ja die Nullstellen der beiden Funktionen auf einen Blick und eine ist gleich.

Danach kannst du gleichsetzen und mit einer Polynomdivision x= -1 rausdividieren.

Natürlich darfst du auch zuerst die beiden Funktionen gleichsetzen.

Es gibt aber für Gleichungen vom Grad 3 auch ein eigentliches Lösungsverfahren.

Bei Polynomen von hohen Graden muss man numerisch vorgehen. Z.B. mit dem Newtonverfahren. Das findest du in diesem Forum bei anderen Aufgaben bereits.