Folgende zwei abstrakte Aussagen äquivalent?

Question

ich soll herausfinden, ob folgende zwei abstrakte Aussagen äquivalent sind. a ∧ b and (¬a ∨ b) ⇔ a

Mein Ansatz:

(¬a ∨ b) ⇔ a            {Bi-Implikation}

((¬a ∨ b) ⇒ a) ∧ (a ⇒ (¬a ∨ b))  {Implikation, 2x}

(¬(¬a ∨ b) ∨ a) ∧ (¬a ∨ (¬a ∨ b)) {De Morgan, double negation}

((a ∧ ¬b) ∨ a) ∧ (¬a ∨ (¬a ∨ b)) // wie kann ich hier vereinfachen?

Vielleicht weiß ja jemand weiter wäre nett :P

LG

Comments

> a ∧ b and (¬a ∨ b) ⇔ a

Was meinst du damit genau?

a ∧ b  ∧  (¬a ∨ b) ⇔ a  wäre falsch 

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das sind die zwei Aussagen die zu vergleichen(äquivalenz zeigen) sind also das "and" ist hier nicht als connective zu werten.

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Aja und danke für deine schnellen Antworten Wolfgang!

also ob a ∧ b ≡ (¬a ∨ b) ⇔ a ? Jetzt hab ich mir den komplexeren Teil ausgesucht und wollte diesen vereinfachen bis ich eben bis zu a ∧ b vereinfacht habe.

LG

Answer 1

Hallo Gucki,

(a ∧ b)   ⇔   [ (¬a ∨ b) ↔ a ]     ?

a   b        a∧b        ¬a ∨ b      (¬a ∨ b) ↔ a 

f     f            f                w                  f

f    w           f                w                  f

w   f            f                f                    f

w  w           w              w                  w

Die Terme sind also äquivalent

Gruß Wolfgang

Comments

Danke Wolfgang für deine schnelle Antwort, jedoch darf ich in diesem Fall die äquivalenz der beiden Aussagen nicht mit einer Wahrheitstabelle zeigen. Sonst wäre das kein Problem gewesen.

Ich muss hier wirklich die Aussagen mit den Gesetzen(Kommutativ, Distributiv, Assozativ, Implikation, Negation Substitution usw) vereinfachen bis ich zwei identische Aussagen zum Schluss habe.

War mein Fehler hätte ich von Anfang an schreiben müssen bin aber davon ausgegangen das man durch meinen Ansatz schon sehen konnte wohin ich wollte.

LG

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Mit dieser Kurzfassung kommst du bestimmt klar:

(¬a ∨ b) ↔ a 

⇔  [ (¬a ∨ b) ∧ a ] ∨ [ ¬(¬a ∨ b) ∧ ¬a ] 

⇔  [ (¬a ∧ a) ∨ (a∧b) ] ∨ [ (a ∧ ¬b) ∧ ¬a ]

⇔  [ f  ∨ (a∧b) ] ∨ f

⇔  a ∧ b

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Danke für deine Kurzfassung Wolfgang.

Also ich hab jetzt schon eine Zeit lang versucht deinen Lösungsweg nachzuvollziehen aber ich schaff es nicht! Ich versteh einfach nicht was ich hier übersehe... Wenn ich die Bi-Implikation auf die erste Zeile anwende komm ich nicht auf das selbe Resultat. Sind bei dir schon mehrere Regeln auf die erste Zeile angewandt worden?

LG

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x ↔ y   ⇔  (x∧y) ∨ (¬x ∧ ¬y)

x ↔y  genau dann, wenn x und y die gleichen Wahrheitwerte haben.   (Definition von ↔)

Das ist vergleichbar mit der Ersetzung

x → y    ⇔   ¬x ∨ y

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Egal was ich hier auf dem Zettel vor mir versuch das wird nichts.. :(

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hast du die zweite Zeile jetzt verstanden?

x ↔ y   ⇔  (x∧y) ∨ (¬x ∧ ¬y)     gilt per Definition von ↔ 

Setze für x  (¬a ∨ b)  und für  y  a ein 

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Ja das hab ich verstanden aber ich versteh nicht wie es dazu kommt ? aus ⇔ wird 2x ⇒ ? steht zumindest so in meinem Buch und jetzt ist es ganz anders...

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> aus ⇔ wird 2x ⇒ ? steht zumindest so in meinem Buch und jetzt ist es ganz anders...

Da geht es wohl um Aussageformen, nicht um aussagenlogische Formeln.

x    y       x∧y        ¬x ∧¬ y       (x∧y) ∨ (¬x ∧¬ y)      x↔y

f     f            f                w                    w                            w             

f    w           f                f                      f                              f

w   f            f                f                      f                              f

w  w           w              f                     w                             w

Diese Terme  sind aussagenlogisch gleichwertig 

Mehr kann ich dir dazu wirklich nicht mehr sagen.

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Naja das ist eben die Bi-Implication Regel die ich angewandt habe? und danach die Implication Regel? Mhm versteh jetzt nix mehr..

Ich soll mit Rechnungen zeigen, ob die abstrakten Aussagen äquivalent sind. Steht im Buch so...

LG 

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Bi-Implication Regel    und   Implication Regel 

Schreib mir die mal auf. Vielleicht kommen wir dann weiter.

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Bi-Implication: P ⇔ Q ≡ (P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P) 
Implication: P ⇒ Q ≡ ¬P ∨ Q

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p ⇔ q

≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) 

≡ ( ¬p ∨ q) ∧ ( ¬q ∨ p)

≡ [ (¬p ∨ q) ∧ ¬q ] ∨ [ (¬p ∨ q) ∧ p ]          Distributivgesetz

≡ [ (¬p∧¬q) ∨ (q ∧ ¬q) ] ∨ [ (¬p ∧ p) ∨ (p∧q) ]    DG und in der letzten Klammer KG_∧

≡  (¬p∧¬q)  ∨ f  ∨ f ∨ (p∧q)                         AG_∨ 

≡   (¬p∧¬q) ∨ (p∧q)    

Das ist der Übergang von der 1. zur 2. Zeile meiner  Kurzform, wenn du meine Regel nicht anwenden darfst.

Natürlich musst du für p  (¬a ∨ b)    und für  q   a  einsetzen  

[ In der Kurzform musst du  ⇔ durch ≡  und  ↔ durch ⇔  ersetzen, weil ihr das so schreibt. ]

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Vielen lieben Dank Wolfgang hat mir sehr weitergeholfen.

Wenn ich jetzt für (¬p ∧ ¬q) ∨ (p ∧ q) die Terme einsetze und danach weiter vereinfache dann kommt bei mir (¬a ∧ ¬b ) ∨ (a ∧ b) heraus. Wie soll sich das dann mit nur a ∧ b ausgehen?

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p ⇔ q  ≡   (p ∧ q) ∨ (¬p ∧ ¬q)  

wenn du  (¬a ∨ b)   für  p  und  a  für  q  einsetzt, kommst mit der "Kurzform" ab Zeile 2 auf a∧b

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Danke Wolfgang ich hab es hinbekommen!
LG