Eindeutigkeit Linearer Abbildungen Basis

Question

Hi,

ich verstehe leider nicht genau was eindeutig bestimmt bei diesem Satz  heißt.

Ich weiß, dass g=f sein muss.

Aber wenn ich mir selbst ein Beispiel konstruiere, passt die Lösung nicht zu dem, was ich darunter verstehe.

Zum Beispiel :

Betrachte eine lin. Abbildung  F: V -> W ;V=R^3;W=R^2

Diese soll definiert sein durch (x,y,z) -> (x+y+z;y+z)

Wähle ich nun die Standardbasisvektoren aus R^3 ergiben sich folgende Abbildungen dieser: (1,0);(1,1); (1,1)

Wähle ich nun die lin Abbildung G: V->W

mit (x,y,z) -> (x+y, y+z) er gibt sich analog
(1,0) ; (1,1) ; (1,0).

nun ist f aber nicht gleich g? oder sehe ich das falsch?


Liebe Grüße

Comments

Also um meine Frage noch einmal zu konkretisieren.

Eindeutigkeit bedeutet für mich dass jedem w e W ein v e V durch genau eine Funktion zugeordnet wird.

In meinem Beispiel kann ich aber (1,1) e E durch zwei verschiedene Funktionen darstellen indem ich sowohl in F als auch in G den Standardbasisvektor des R^3 (0,1,0) einsetze. Denn dann erhalte ich jeweils (1,1) e R^2

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EDIT: Habe deine "Antwort" zu einem Kommentar gemacht, damit die Frage wieder bei den offenen Fragen zu sehen ist. Annahme: Es war deine Frage. Wenn das als Antwort gemeint war, bitte nochmals kurz melden.

Answer 1

Eindeutig bestimmt ist \(f\), wenn Du die Bilder \(f(v_1)\), ..., \(f(v_n)\) kennst. In Deinem ersten Beispiel: Wenn man nur \((1,0,0)\mapsto(1,0)\), \((0,1,0)\mapsto(1,1)\) und \((0,0,1)\mapsto(1,1)\) weiss, dann folgt bereits \(f(x,y,z)=(x+y+z,y+z)\). Was anderes ist gar nicht moeglich.