Rechteckseiten berechnen per Gleichung: Kleine Seite wird um 3 cm verlängert und die große Seite um 5 cm verkürzt

Question

 ! Habe eine Aufgabe aus einem Buch und weiss nicht, wie ich ansetzten soll

In einem Rechteck wird die kleine Seite um 3 cm verlängert und die große Seite um 5 cm verkürzt. Es entsteht ein Quadrat, dessen Flächeinhalt um 1 cm² kleiner ist als der Flächeninhalt des Rechtecks. Wie groß sind die Rechteckseiten a und b.

Vielen dank

Answer 1

Das ursprüngliche Rechteck hatte die Maße a * b

Das veränderte Rechteck hat die Maße (a + 3) * (b - 5), es ist jetzt ein Quadrat, so dass gilt: a+3 = b-5

Auflösen nach a ergibt a = b - 8

 

Ursprüngliches Rechteck also:

(b - 8) * b

Quadrat:

(a + 3) * (b - 5)

 

Das Quadrat hat einen um einen cm^2 kleineren Flächeninhalt als das Rechteck, also: 

(a + 3) * (b - 5 ) + 1 = (b - 8) * b

ab - 5a + 3b - 15 + 1 = b^2 - 8b

Für a setzen wir b - 8 ein:

(b - 8)*b - 5*(b - 8) + 3b - 14 = b^2 - 8b

b^2 - 8b - 5b + 40 + 3b - 14 = b^2 - 8b

-5b + 40 + 3b - 14 = 0

-2b = -26

b = 13

a = b - 8 = 5

 

Probe: 

5 * 13 = 65 (ursprüngliches Rechteck)

8 * 8 = 64 (Quadrat)

passt :-)

Comments

Soweit gut erklärt , aber hätte immernoch eine frage offen

Das veränderte Rechteck hat die Maße (a + 3) * (b - 5), es ist jetzt ein Quadrat, so dass gilt: a+3 = b-5

wieso gilt das? bzw. welchen Gedankengang muss ich folgen`?

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Die eine Seite a wurde um 3 vergrößert, die andere Seite b um 5 verkleinert, so dass das veränderte Rechteck die Maße (a + 3) * (b - 5) hat. 

Es wird aber angegeben, dass dieses neue Rechteck mit den Seitenlängen (a + 3) bzw. (b - 5) ein Quadrat ist. 

Und ein Quadrat hat per Definition 4 gleich lange Seiten. 

Das heißt doch, dass die Seite (a + 3) genauso lang ist wie die Seite (b - 5). 

Das gibt uns das Recht, zu schreiben: 

a + 3 = b - 5

Ich hoffe, jetzt ist es ein wenig klarer geworden :-) 

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Warum muss man plus 1 rechnen den der flächeninhalt ist doch um eins kleiner ?

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Wenn das Quadrat um eins kleiner ist als das Rechteck, müsste man doch zur Größe des Quadrats 1 hinzuaddieren, um auf die gleiche Größe zu kommen, welches das Rechteck hat.

 

Ganz einfaches Beispiel zu Aufgaben dieser Art.

Du hast 5 Euro in der Hand, und ich habe einen Euro weniger.

Dann gilt:

Mein Geld + 1 = Dein Geld

x + 1 = 5

x = 4

Also mein Geld = 4, Dein Geld = 5

 

Klarer jetzt?

:-)

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Kein Problem - das ist ein häufiger Fehler, den wohl jeder schon einmal gemacht hat :-D

Answer 2

Bei einem Quadrat sind die Seitenlängen gleich lang , dann gilt :

I. a+3=b-5

der Flächeninhalt des Quadrates isr 1cm² kleiner als der des Ursprungsrechteckes, dann gilt

II.  (a+3) *(b-5) = a*b-1

I a+3=b-5       |-3

       a=b-8       | und in die II Gleichung einsetzen

II. (b-8+3) *(b-5) = (b-8)*b-1

     (b-5)*(b-5) =b²-8b-1

      b²-10b+25=b² -8b-1      | -b², +10b   , +1

                   26=2b              | /2

                    13=b              a= 13-8  ⇒ a=5

Die Seiten des Rechteckes sind a= 5cm und b=13cm    , A= 5*13=65cm²

Die Seite a im Quadrat ist dann a= 8  cm                             , A= 8*8=64cm²

Answer 3

Hi,

zwei Unbekannte (Breite a und Länge b) fordern zwei Gleichungen:

 

ab=(a+3)(b-5)+1      

a+3=b-5                      |Das neue Rechteck soll ein Quadrat sein...die Seiten sind gleichlang

 

Unteres nach a auflösen und in oberes einsetzen, oberes noch vereinfachen:

ab=ab-5a+3b-15+1 |-ab

-5a+3b-14=0

 

zweite  Gleichung: a=b-8

In die vereinfachte:

-5(b-8)+3b-14=0

-5b+40+3b=14

-2b=-26

b=13

 

Damit in die zweite Gleichung

a=5

 

Grüße