Question

Ist die Funktionenfolge f_n = [0,1] → R mit f_n(x) = x²ⁿ gleichmäßig konvergent?

Was muss ich tun? Meine Idee:

lim n→ ∞ f_n(x) um erstmal punktweise Konvergenz zu überprüfen. Aber da kommt ja unendlich raus..... Also ist glm Konvergenz ja schon ausgeschlossen. Aber das kann doch nicht sein, oder? Ich  muss doch bestimmt ieine Fallunterscheidung machen... (Gleichmäßige Konvergenz überprüfen wir immer mit der Supremumsnorm....)

Danke

Comments

...aber da kommt ja unendlich raus...

Wie hast Du das denn herausgefunden? :-)

Answer 1

Hi,

stimmt, Anonym hat Recht: Auf dem Intervall [0, 1] kommt nicht unendlich raus, sondern 0 für x Element [0, 1) und 1 für x = 1. (Die Grenzfunktion ist nicht differenzierbar.)

Die Stelle x = 1 ist hier auch der springende Punkt: Für epsilon > 0 gibt es eben kein N, sodass |f_n - f| < epsilon für alle n > N, da in der Nähe der 1 (und zwar beliebig nahe) immer eine Stelle existiert, für die diese Bedingung nicht erfüllt ist!

Mfg

Mister

Comments

Am schönsten argumentiert man darüber, dass die punktweise Grenzfunktion nicht stetig ist, also nicht gleichmäßiger Grenzwert sein kann.

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dies wäre allerdings ein Vorwegbezug einer aus gleichmäßiger Konvergenz folgenden Eigenschaft (Stetigkeit).

MfG

Mister