Zeigen sie dass f(x) eine Gerade Funktion ist unter bestimmten vorauss.?

Question

Abend alle zs,

ich komme bei einer Aufagbe nich weiter und hoff hier hilfe zu finden.

Aufgabe:

Zeigen sie, dass ein Polynom genau dann eine gerade Funktion ist wenn a_{2k+1}=0 für alle k ist.

Mir ist der Sachverhalt klar nur wie zeige ich sowas?

Comments

Mir ist der Sachverhalt klar nur wie zeige ich sowas?

Vielleicht schreibst Du ja einfach auf, wodurch Dir der Sachverhalt klar geworden ist. Es wird nichts anderes verlangt.

Answer 1

Für eine Gerade Funktion gilt

P(-x) = P(x)

Wenn du nur gerade Potenzen hast dann gilt aber

(-x)^{2k} = x^{2k}

Answer 2

Eine Funktion \(f\colon \mathbb R\rightarrow\mathbb R\) ist gerade nach Definition wenn für alle \(x \in\mathbb R\) gilt:

$$f(-x)=f(x).$$

Für ein Polynom muss dann gelten: $$f(-x)=f(x) \Leftrightarrow \sum_{i=0}^na_i(-x)^i=\sum_{i=0}^na_ix^i.$$

Da \((x_n)_{n\in\mathbb N}\) eine Basis der Polynome bilden (also insbesondere linear unabhängig sind), kann das nur der Fall sein, wenn für jedes \(i\in\{1,...,n\}\) gilt:

$$a_i(-x)^i=a_ix^i\Leftrightarrow a_i((-x)^i-x^i)=0.$$

Nun ist aber für alle geraden \(i=2k\) der Ausdruck \((-x)^i-x^i=(-x)^{2k}-x^{2k}=((-x)^2)^k-(x^2)^k=(x^2)^k-(x^2)^k=0.\)

Für ungerade \(i=2k+1\) hingegen gilt: \((-x)^i-x^i = (-x)^{2k+1}-x^{2k+1} = (-x)((-x)^2)^k-x(x^2)^k = (-x)(x^2)^k-x(x^2)^k  =-2x^{2k+1}\neq0, \forall x\neq0.\)

Damit muss für alle ungeraden \(i\) der Vorfaktor \(a_i\) Null sein oder die Funktion kann nicht gerade sein.

Comments

Was bezweckst Du mit Deinem Ausflug in die lineare Algebra? Dass \(\{x^n\}_{n\in\mathbb{N}}\) eine Basis für den Vektorraum der (reellen oder komplexen) Polynome ist, ist nur dann offensichtlich, wenn man Polynome in einer Unbestimmten betrachtet. Hier haben wir aber Polynomfunktionen, und da muss man den Identitaetssatz bemuehen. Den kann man aber einfacher direkt abwenden.

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Man kann nur einen Koeffizientenvergleich der Polynomfunktionen machen, wenn die Potenzen linear unabhängig sind. Ansonsten ist nicht auszuschließen, dass es weitere Lösungen für \(f(-x)=f(x)\) gibt. Dass genau das nicht der Fall ist, war aber zu zeigen.

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Und zeigen tut man das mit dem Identitaetssatz für (reelle oder komplexe) Polynomfunktionen, nicht via linearer Algebra.