Extremwertaufgabe mit Lagrange

Question

ich habe eine Menge M={ (x,y)∈ℝ^2: xy^2 - x^2 + 2x - y^2 - 1 = 0}

und soll hieraus den Punkt mit dem geringsten Abstand zum Ursprung bestimmen. Als Ansatz habe ich die zu minimierende Funktion

 f(x,y)= x^2 + y^2

definiert und als Nebenbedingung die der Menge M gewählt

g(x,y)= xy^2 - x^2 + 2x - y^2 - 1

Dann habe ich die Lagrangefunktion

L(x, y, λ) = f(x,y) + λ*g(x,y)

gebildet und den Gradienten =0 gesetzt, d.h. nach x, y, λ abgeleitet und habe damit ein Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und den 3 Unbekannten. Beim Lösen komme ich jedoch immer auf eine komplexe Zahl für y.

Ist der Ansatz so richtig? Auch mein Rechner kommt auf ein komplexes y...

Comments

Vielleicht hilft dir die Zeichnung hier: https://www.wolframalpha.com/input/?i=xy%5E2+-+x%5E2+%2B+2x+-+y%5E2+-+1+%3D+0

 

schon etwas weiter?

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Die 3 Gleichungen sind:

2x + λ*(y^2-2x+2) = 0

2y + λ*(2xy-y) = 0

xy² - x² + 2x - y² - 1 = 0

Aus der dritten bekomme ich x=y^2+1

Damit in die zweite und es folgt λ= -1/y^2

Jetzt alles in die erste und als Ergebnis: y^2=-2/3

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Das heißt mein y ist beliebig wenn x=1 ist?

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OK, habe eine Fallunterscheidung vergessen, komme jetzt aus der 3. Gleichung auf x=1.

Allerdings lässt sich damit im Folgenden nicht Gleichung 1 und 2 lösen. Muss ich diese beiden Gleichungen vielleicht gar nicht lösen, weil das Minimum auf dem Rand liegt und damit die Ableitung von f(x,y) nicht zwangsläufig null sein muss?

Es ist ja relativ offensichtlich dass der Punkt (1,0) sein muss, nur komme ich rechnerisch nicht drauf

Answer 1

$$  f(x,y)= x^2 + y^2$$
$$g(x,y)= xy^2 - x^2 + 2x - y^2 - 1 $$
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$$  0= 2x + \lambda (y^2 - 2x + 2 ) $$
$$  0=  2y +\lambda (2xy - 2y) $$
$$  0= xy^2 - x^2 + 2x - y^2 - 1 $$
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$$  0= 2x + \lambda y^2 - \lambda 2x + 2 \lambda  $$
$$  \lambda y^2= -2x  + \lambda 2x - 2 \lambda  $$
$$  y^2= -2 \cdot  \frac {x  - \lambda x +  \lambda} \lambda  $$
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$$  0=  y +\lambda xy -  \lambda y $$
$$  0=  y \cdot (1 +\lambda x -  \lambda ) $$
$$y_1=0$$
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$$  0=  1 +\lambda x -  \lambda  $$
$$  0=  1 +\lambda (x - 1)  $$
$$  - 1 =\lambda (x - 1)  $$
$$   1 =\lambda (1-x )  $$
$$   \lambda= \frac 1{ (1-x )}  $$
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$$  y^2= -2 \cdot  \frac {x  - \lambda x +  \lambda} \lambda  $$
$$  y^2= -2 \cdot  \frac {x  -  \frac 1{ (1-x )}\cdot  x +   \frac 1{ (1-x )}} { \frac 1{ (1-x )}}  $$
$$  y^2= -2 \cdot  \left( {x (1-x ) -  \frac {(1-x )}{ (1-x )}\cdot  x +   \frac {(1-x )}{ (1-x )}} \right)  $$
$$  y^2= -2 \cdot  \left( x -x^2 -    x +  1 \right)  $$
$$  y^2= 2 \cdot  \left( x^2 -    1 \right)  $$
$$  y_{2,3}= \pm\sqrt {2 \cdot  \left( x^2 -    1 \right) } $$