Thema: Zufallsgröße / Varianz- und Standardabweichung

Question

Hallo Allerseits. Ich bin gerade dabei die Aufgabe zu lösen und komme leider nicht mehr weiter. Ich würde mich wenigstens auf einen Ansatz freuen. Es geht um folgendes:
Für den Wurf mit drei Würfeln wird der folgende Gewinnplan verwendet.
Wurf/Auszahlung: 1x 6 / 3€, 2x 6 / 15€, 3x 6 / 50€

a) Berechnen Sie den Erwartungswert der Zufallsgröße X, die die Anzahl der Sechsen pro Spiel angibt.
b) Bei welchem Einsatz ist das Spiel fair?
c) Welcher Einsatz muss wenigstens verlangt werden, damit mindestens 25% dem Betreiber als Gewinn verbleiben?

Answer 1

a)

Erwartungswert der Anzahl Sechsen

E(X) = n * p = 3 * 1/6 = 0.5 oder auch E(X) = 0·125/216 + 1·75/216 + 2·15/216 + 3·1/216 = 0.5

b)

Erwartungswert der Auszahlung:

E(X) = 0·125/216 + 3·75/216 + 15·15/216 + 50·1/216 = 125/54 = 2.315

Das Spiel ist bei einem Einsatz von etwa. 2.31 € fair.

c)

Einsatz:

125/54 / (1 - 0.25) = 250/81 = 3.09 €

Comments

Kann mir bitte jemand erklären wie man auf die Wahrscheinlichkeiten P(x=xi) in der Aufgabe a) draufkommt? Ich verstehe leider nicht wie man einzeln vorgeht. Ich sitze gerade und versuche alle Möglichkeiten aufzuzählen wie oft es jeweils vorkommt, nun komme ich leider nicht mehr weiter. Ich würde mich auf eine Erklärung freuen.

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In a) wird keine Wahrscheinlichkeit berechnet sondern ein Erwartungswert.

Und der Erwartungswert kann hier über die Formel E(X) = n * p für die Binomialverteilung berechnet werden.

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Ach so. Dankeschön für die schnelle Antwort.

Wir hatten leider noch keine Binominalverteilung, das kommt wahrscheinlich als nächstes, deshalb ist mir diese Formel nicht bekannt. Wir berechnen dies in einer Art von Tabelle die mit Zwei Spalten gekennzeichnet ist, und zwar: X=xi und P(X=xi)

Das ist quasi eine Vorarbeitung, bevor wir den Erwartungswert berechnen, um erstmal zu wissen, wie oft was vorkommt.

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Die Berechnung mit eurer Tabelle

E(X) = 0·125/216 + 1·75/216 + 2·15/216 + 3·1/216 = 0.5

habe ich ebenso angeführt.

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Ja vielen lieben Dank dafür.

Ich kam nur nicht darauf wie man auf die Zahlen kommt. Also 125/216, 75/216 und 15/216.

Das hat mich ein wenig irritiert, aber jetzt habe ich es nochmal schriftlich ausgeführt, und die Sechs an den jeweiligen Würfen nach rechts und links verschoben und alles zusammengerechnet.

Beispielsweise: x = sei die unbekannte Zahl.

66x,6x6,x66 = 3

(661,662,663,664,665) = 5 * 3 = 15

Daraus folgt: 15/216 für 2x 6

Ihr Ansatz hat mir wirklich sehr geholfen. Vielen Dank nochmal dafür. :)

Kennen Sie da vielleicht eine andere Variante, um dies einfacher und schneller auszurechnen?

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In diesem Fall über die Formel der Binomialverteilung.

Sei X die Zufallsgröße der Anzahl Sechsen gilt:

P(X = k) = (n über k) * p^k * (1 - p)^{n - k}

P(X = k) = (3 über k) * (1/6)^k * (5/6)^{3 - k}

Mit einem TR kann man da auch prima eine Wertetabelle machen.

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Die Formel scheint zwar ein wenig kompliziert aus, aber ich bin mir sicher, dass wenn ich mich ein wenig länger mit ihr befasse, wird es immer leichter und leichter mit ihr umzugehen.

Ich danke Ihnen nochmal herzlich dafür, dass Sie sich Zeit am Wochenende für diese 'einfache' Aufgaben genommen und Ihre wertvolle Zeit in die Aufgaben und Erklärungen investiert haben. :)

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Warum kann man die c) nicht per Dreisatz berechnen?

Also 100% ^= 2,31

        125% ^= x

X= 2,88  das wären ja 25% mehr als der durchschnittliche Gewinn oder?

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Kannst du schon. Allerdings sind die 2.31 die 75% Denn der Gewinn wird vom VK berechnet oder?

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Ok also jetzt verstehe ich schon mal, wie man auf die 3,09€ kommt und ich weiß auch, dass das so stimmen muss(vielen Dank schonmal dafür), aber ich würde gerne noch verstehen, warum man das so rechnet. Also wenn der Gewinn vom Verkäufer berechnet wird dann wär sein Gewinn ja -2,31€, weil so wie ich da verstehe ist das die durchschnittliche Auszahlung. In der Aufgabenstellung steht ja der Verkäufer möchte 25% von dem Einsatz als Gewinn behalten. Also müsste doch der Spieler einfach nur 25% mehr zahlen, richtig? Das ist ja sowohl der Fall von 75% zu 100% als auch von 100% zu 125%, also klar sind das dann andere Brüche, mit denen man rechnet, aber warum ist der Wert so unterschiedlich, wenn es doch das gleiche Verhältnis an Steigerung ist bzw. warum genau geht man von 75% aus?