Funktion von Parameterform in implizierte Form umwandeln.

Question

ich habe die funktion (in Parameterform):

x= a*cos(t)

y=b*sin t

für 0 < t < 2Pi

die explizierte form ist absolut kein Prob:

y= sin(arc cos (x/a))

bei der implizierten komme ich aber nicht weiter...

mein Ansatz ist x und x nach null aufzulösen, also

0= a*cos(t)-x

0= b*sin t -y

und dann beides gleichzusetzen.

jedoch muss die Antwort

"0= y^2 / b^2      +      x^2 /a^2  -1"

sein.

Da komme ich partout nicht drauf.

Bin über jede hilfe dankbar :)

Answer 1

x= a*cos(t)     --->   cos(t) =  x/a    --->  cos(t) ²  =  (x/a) ²

y= b*sin (t )  --->   sin(t) =  x/b    --->  sin(t) ²  =  (x/b) ²

und es gilt immer     cos(t) ²  +   sin(t) ²  =  1

Answer 2

immer wenn Du die Form hast \( \rm Winkelfunktion(Umkehrwinkelfunktion(\dots)) = \dots \) kannst Du das vereinfachen und zusammenfassen.

Dein \( y= \sin(\arccos (x/a)) \) lässt sich also umschreiben in einen Term ohne Winkelfunktionen (dafür oft mit Wurzel).

Implizite Terme sind bei weitem nicht eindeutig, insofern kannst Du nicht einfach sagen, (D)ein Term ist falsch, nur weil er anders ist.

(Wenn Du Dich auf der Uni mit Kurven beschäftigst, ist es tatsächlich eines der großen Probleme, wenn Du zwei Terme hast, herauszubekommen, ob die wirklich zwei verschiedene Kurven, oder nicht doch beide die gleiche Kurve meinen.)

Für Dein Problem: Nimm Deinen Ansatz, löse ihn nach sin bzw. cos auf, quadriere und addiere.

Grüße,

M.B.

Answer 3

x = a·COS(t) --> t = ACOS(x/a)

y = b·SIN(t) --> t = ASIN(y/b)

Gleichsetzen

ASIN(y/b) = ACOS(x/a)

y/b = SIN(ACOS(x/a))

benutze SIN(ACOS(z)) = √(1 - z^2)

y/b = √(1 - (x/a)^2)

(y/b)^2 = 1 - (x/a)^2

(x/a)^2 + (y/b)^2 - 1 = 0

Man sieht auch das deine explizite Form einen kleinen Flüchtigkeitsfehler enthält.

Comments

Erstamal muss ich mich für alle Antworten bedanken :)

Der Ansatz sin(arc cos (z))  =  Wurzel(1-z)

Hat mir gefehlt...