Wahrscheinlichkeit von A_(k): „Der k-te ankommende Bus ist der erste, der anhält“? usw.

Question

Aufgabe:

Ich weiß leider nicht (vor allem bei b/c), wie ich die Aufgaben lösen soll.

Am Bahnhof  fahren abwechselnd Bus A und Bus B zur Schule. Zu den Stoßzeiten sind die Busse jedoch so voll, dass nicht alle tatsächlich halten. Es ist bekannt, dass Bus A am Bahnhof zu einer Wahrscheinlichkeit von 1/3 hält. Die Wahrscheinlichkeit von Bus B ist eine Konstante p ∈ (0,1). Du kommst am Bahnhof an und wartest auf den nächsten anhaltenden Bus, der zur Schule fährt. Laut Fahrplan ist der nächste kommende Bus "Bus A".

(a) Bestimme für k ∈ N die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A_k : „Der k-te ankommende Bus ist

der erste, der anhält“. Unterscheide die Fälle, dass k = 2l gerade ist und dass k = 2l − 1 ungerade ist.

(b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit kommst Du mit Bus B an der Schule an?

(c) Für welchen Wert von p ist es gleich wahrscheinlich, mit dem Bus A oder dem Bus B an der Schule

anzukommen?

Danke für die Hilfe!

Answer 1

Wenn du für (a) schon was hast, wäre es immer gut, wenn du das auch mit reinschreibst. Du solltest für die Wahrscheinlichkeit im geraden Fall (also für den Fall, dass ein Bus der Linie B als nächstes hält) etwas in der folgenden Art rausbekommen haben:

$$A_k=\frac{2}{3}p\left(\frac{2}{3}\left(1-p\right)\right)^{n-1}\qquad \text{, für }k=2n \text{ und } n\in \mathbb{N}$$

Die Gesamtwahrscheinlichkeit, dass man mit der Linie B fährt, ist die unendliche Summe über diesem Term (die Wahrscheinlichkeit, dass der 1. B-Bus der erste haltende Bus ist, plus die Whk., dass der 2 B-Bus der erste haltende Bus ist, plus...), also eine geometrische Reihe, die sich mit der enstprechenden Formel berechnen lässt

$$P(B)=\sum_{n=1}^\infty\frac{2}{3}p\left(\frac{2}{3}\left(1-p\right)\right)^{n-1}=\frac{2p}{3}\cdot\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{2}{3}\left(1-p\right)\right)^{n}=\dots=\frac{2p}{1+2p}$$

Bei (c) müsstest du analog zu Aufgabe (b) rausbekommen, dass \(P(A)=\frac{1}{1+2p}\) ist, was durch Lösen der Gleichung \(P(A)=P(B) \) zu dem Ergebnis \(p=\frac{1}{2}\) führt.