Wenn du diese Reihe mal erst nur von n=1 bis 5 betrachtest, siehst du
1*q0 +2*q1 + 3*q2 + 4*q3 + 5q4 - ( q0 +q1 + q2 + q3 +q4 )
= 1*q1 + 2*q2 + 3*q3 + 4 q4
= 1/q * ( 2*q1 + 3*q2 + 4*q3 + 5q4 )
Das ist gerade (1/q) mal die anfängliche Reihe , allerdings erst bei n=2 beginnend.
Diese Idee kannst du allgemein ( etwa mit vollst Ind.) beweisen # :
$$ \sum_{n=1}^{\infty}{n *}{ q }^{ n-1 } =\frac { 1}{ q }\sum_{n=1}^{\infty}{n *}{ q }^{ n-1 }-\sum_{n=0}^{\infty}{n *}{ q }^{ n-1 } $$
Die linke und die erste rechte Summe haben, wenn sie konvergieren, gleichen Grenzwert g.
Das ist der, den du suchst. Und aus # hast du dann für die Grenzwerte :
(Der rechte ist ja die geom. Reihe, allerdings beginnend mit 1/q )
g = 1/q * g - ( 1/q + 1 / ( 1-q ) )
1/q + 1/ ( 1-q) = 1/q * g - g
( 1 - q + q ) / ( q(1-q)) = ( 1/q - 1) * g
1 / ( q(1-q)) = ( 1/q - q/q ) * g
1 / ( q(1-q)) = ( (1-q) /q ) * g
q / ( q *(1-q) * (1-q) ) = g
1 / (1-q)2 = g
1 / (q-1)2 = g q.e.d.