Reihenwert einer Folge. Hilfe!

Question

ich beschäftige mich gerade mit den Grenzwerten von Reihen.

Nun hab ich in einem Buch gelesen, dass bei folgender Reihe gilt: (0<q<1)

Wie komme ich denn auf das Ergebnis? Im Buch wird dazu nichts näheres erläutert.

Danke schon einmal !

Answer 1

∑ (n = 0 bis ∞) x^n = 1/(1 - x)

Beide Seiten Ableiten

∑ (n = 0 bis ∞) n * x^{n - 1} = 1/(x - 1)^2

0 * x^{0 - 1} + ∑ (n = 1 bis ∞) n * x^{n - 1} = 1/(x - 1)^2

∑ (n = 1 bis ∞) n * x^{n - 1} = 1/(x - 1)^2

Answer 2

Der Grenzwert einer geometrischen Reihe mit dem Quotienten q<1 ist

∑qⁿ=-1/(q-1). Leite beide Seiten nach q ab: ∑n·q^n-1= 1/(q-1)²

Answer 3

Wenn du diese Reihe mal erst nur von n=1 bis 5 betrachtest, siehst du

1*q⁰ +2*q¹ + 3*q² + 4*q³ + 5q⁴         -   (    q⁰ +q¹ + q² + q³ +q⁴  ) 

=        1*q¹ + 2*q² + 3*q³ + 4 q⁴     

=  1/q * ( 2*q¹ + 3*q² + 4*q³ + 5q⁴   )     

Das ist gerade (1/q) mal die anfängliche Reihe , allerdings erst bei n=2 beginnend.

Diese Idee kannst du allgemein  ( etwa  mit vollst Ind.) beweisen     # :


$$  \sum_{n=1}^{\infty}{n *}{ q }^{ n-1 }  =\frac { 1}{ q }\sum_{n=1}^{\infty}{n *}{ q }^{ n-1 }-\sum_{n=0}^{\infty}{n *}{ q }^{ n-1 }    $$


Die  linke und die erste rechte Summe haben, wenn sie konvergieren, gleichen Grenzwert g.


Das ist der, den du suchst.  Und aus #  hast du dann für die Grenzwerte :


(Der rechte ist ja die geom. Reihe, allerdings beginnend mit 1/q )

g   =    1/q  *  g   -   (  1/q  +    1 / ( 1-q ) ) 

1/q + 1/ ( 1-q)  =   1/q  * g   -   g

( 1  - q   +  q ) /  ( q(1-q))  =   ( 1/q  -  1)  *  g    

1 /  ( q(1-q))  =   ( 1/q  -  q/q )  *  g   

1 /  ( q(1-q))  =   ( (1-q) /q  )  *  g   


q  /    ( q  *(1-q) * (1-q)   ) =  g 

1  /    (1-q)²    =  g

1  /    (q-1)²    =  g     q.e.d.