Beweisen Sie die folgende Gleichung für komplexe Zahlen |z + w|^2 +|z−w|^2 = 2(|z|^2 +|w|^2).

Question

a) Beweisen Sie die folgende Gleichung für  komplexe Zahlen z,w ∈C:

 |z + w|² +|z−w|² = 2(|z|² +|w|²).
Was bedeutet diese Formel geometrisch?

 b) Bestimmen Sie alle z ∈C mit
|z−1| = 2 ∧ z−z* = 4i.

z*= schlange z

Kann mir da bitte einer weiterhelfen ?

Answer 1

 z = x + y·i ;  w = u + v·i  ,    |z| = √(x² + y²)

| (x + y·i) + (u + v·i) |² + | (x + y·i) - (u + v·i) |²  =  2·x² + 2·y² + 2·u² + 2·v²

2·( | (x + y·i) |² + | (u + v·i) |² )  =  2 · (x² + y² + u² + v²) 

Gruß Wolfgang

Comments

Dankeschön, für Ihre Antwort. Habe das jetzt durch ausmultiplizieren gemacht

hoffe das geht auch :)

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Natürlich musst du das ausmultiplizieren :-)

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ausmultiplizieren ist klar :D hab :

| z+w|² + |z-w|² = 2*( | z|² + |w|² )

| z+w|² + |z-w|² = ( z+w)* (~z+~w) +(z-w)*(~z- ~w)

= z*~z +w*~w+ z*~z+w*~w

= 2|z|² +2|w|²

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Ergänze zwischen den folgenden Zeilen noch eine Zeile mit mehr Summanden, die dann aber wegen unterschiedlichen Vorzeichen wegfallen:

| z+w|² + |z-w|² = ( z+w)* (~z+~w) +(z-w)*(~z- ~w)

= ....

= z*~z +w*~w+ z*~z+w*~w