Kubische Formel reduzieren?

Question

Bestimm Sie die Lösungen der kubischen Gleichung. Bestimmen Sie dazu zunächst die reduzierte Form.

x³ - 6x² + 12x -8 = 0

Mein Versuch der Substitution mit x = z - a/3

(z-a/3)³ - 6(z-a/3) +12(z-a/3) -8=0

z³   -   3(az²)/3   +   3(a²z)/3   -   a³/27   -   6z²   +   (12az)/3   -   (6a²)/9   +   12z   -   (12a)/3   -   8 =0

z³   -   az²   +   a²z   -   a³/27   -   6z²   +   4az   -   (2a²)/3   +   12z   -   4a   -   8   =   0

???? Mein Gefühl sagt mir, da stimmt was nicht, kann jemand helfen?

Comments

Vielleicht solltest Du erstmal rauskriegen, was mit a gemeint ist.

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a=6?

also

x³ - 6x² + 12x -8 = 0

x = z - 6/3

(z-2)³ - 6(z-2)² +12(z-2) -8 = 0

usw?

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Rechne es aus und kontrolliere, ob beim Polynom in z der quadratische Anteil weggefallen ist. Das ist der Sinn der Substitution.

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Tipp: a=-6 :3

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ok, passt nicht :-(

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ok, nochmal mit -6 ;-)

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dann steht da z³ = 0 ??

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Ja, das wird ganz einfach durch die Substitution hier :)

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ok wie heißt dann jetzt die reduzierte Form??

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Ja, z^3=0 ist die reduzierte Form.

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ok, super, das ja schon mal n Anfang :-)

Mein Lösungsversuch ist weiter unten, aber glaub ist mal wieder falsch :-(

Answer 1

z³   -   az²   +   a²z   -   a³/27   -   6z²   +   4az   -   (2a²)/3   +   12z   -   4a   -   8 - a³/27 - 2/3·a²  =   0

Da, wo rote Zahlen stehen stimmt etwas nicht. Die Substitution erscheint mir auch nicht zweckmäßig. Warum soll man zunächst die reduzierte Form bilden, wenn sich die Lösung x=2 ohne weiteres raten lässt?

Comments

Sehe ich auch so! +1 von mir

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weil meine Professorin das leider so will. Um sinnvoll oder nicht scheint es - wie so oft - nicht zu gehen

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Können alternativ auch folgende Gleichung so lösen 

x³ -5x² +3x +9=0

Answer 2

Hi die reduzierte Form ist:

(x-2)^3

die Lösung ist dann

x=2

Beste Grüße!

Comments

vielen lieben Dank, aber ich muss die Substitution leider verstehen :-(

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Da muss eigentlich nichts substituiert werden ;-)

Oder steht das in der Aufgabenstellung?

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ich soll die reduzierte Form ermitteln. d.h. ich muss auch den Weg dahin zeigen.

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Das ginge auch mit zweifacher Polynomdivision

Wäre dann:

x^3-6x^2+12x-8/(x-2)=x^2-4x+4

x^2-4x+4/(x-2)=x-2

Also 

(x-2)(x-2)(x-2)=(x-2)^3

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ja, ich weiss, das ist aber leider nicht gefragt. Ich MUSS die Substution machen

Answer 3

Hallo brixx,

x³ - 6x² + 12x - 8 = 0 ;  x = z - a/3

(z-a/3)³- 6·(z-a/3)² +12·(z-a/3) - 8 = 0

Klammern ausrechnen und zusammenfassen:

:z³ - z²·(a + 6) + z·(a² + 12·a + 36)/3 - (a³ + 18·a² + 108·a + 216) / 27 = 0

z² verschwindet mit a = - 6.  Der gesamte Term ergibt dann 

z³  = 0      [  ⇔ (x - 2)³ = 0 ] 

Das ist die reduzierte Form  ( = Term ohne Summand mit z² )

Gruß Wolfgang

Comments

hm ich hab da x³ = 0??

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Mit a = - 6 ergibt sich wie oben  z³ = 0.

mit  x = z - a/3 = z - (-6)/3 = z + 2    →  z = x - 2  →  (x-2)³ = 0

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ok also die reduzierte Formel lautet

z³ = 0

Wenn ich jetzt die Lösung für die Gleichung suche rechne ich

(x-2)³ = 0

Klammer auflösen:

x³ -9x² -9x +27 = O

x (x² -9x-9) +27 =0

Durch ausklammern x1 = 0

Dann mit pq Formel

x1,2 = 9/2 +/- √(-9/2)² -27

geht nicht, weil unter der Wurzel negativ???

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(x-2)³ = 0                 [ nicht ausmultiplizieren ! ]

⇔  (x-2) * (x-2) * (x-2) = 0

            ein Produkt ist genau dann = 0, wenn mindestens ein Faktor = 0 ist: 

⇔  x - 2 = 0   ⇔  x = 2

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ok, vielen Dank.

was ist mit meiner Überlegung (x+2)³ auszurechnen und dann ein x auszuklammern? Dann wäre doch x = 0 ein weiteres Ergebnis, oder zählt das nicht,, weil die pq-Formel dann kein Ergebnis liefert?

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bzw. seh grad ich hab mich da verrechnet

x³ -6x² + 12x -8 = 0

x (x² -6x + 12) -8 = 0

also x1 = 0

x² -6x +4 = 0

mit pq:

x = 6/2 +/- √(-6/2)² -4

x1 = 3+√5 

x2 = 3 -√5

oder? Aber dann hätte ich ja 4 Lösungen, das darf ja nicht 

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x³ - 6x² + 12x - 8 = 0

wenn du x komplett ausklammerst, hast du x · (x² -6x + 12 - 8/x )   = 0 und in der Klammer funktioniert die pq-Formel nicht mehr.

x · (x² -6x + 12)  -  8 = 0    macht keinen Sinn,  weil du dann kein Produkt sondern eine Differenz hast, und dann funktioniert der Nullproduktsatz nicht.

(x-2)³ = x³ - 6x² + 12x - 8 = 0  hat einfach nur die (dreifache) Lösung  x = 2 

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alles klar

wollen wir die nächste auch gleich? ;-)

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Stell sie einfach neu ein. Sonst blickt kein Mensch mehr durch die Kommentare durch :-)

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:-) alles klar