Sind die folgenden Teilmengen R-Unterräume von R^4?

Question

Prüfen Sie, ob die folgenden Teilmengen ℝ⁴-Unterräume von  ℝ⁴ sind.

(a) U1 := {(x₁,x₂,x₃,x₄) ∈ ℝ⁴| x₁ = 0∨x₃ = 0}

(b) U2 := {(x₁,x₂,x₃,x₄) ∈ℝ⁴ | 2x₁+3x₂+4x₃+5x₄ = 0∧x₁+x₂−x₃−2x₄ = 0}

(c) U3 := {(x₁,x₂,x₃,x₄) ∈ℝ⁴ | x₁ ·x₂ ·x₃ = 0}

(d) U4 := {(x₁,x₂,x₃,x₄) ∈ℝ⁴ | 2x₂ + 3x₃ = 2x₁ ∧x₄ = 2x₁ + 5x₃}

Ich weiß, dass ich bei U1 ein Gegenbeispiel aufführen kann: (0 1 1 1) + (1 1 0 1)= (1 2 1 1)∉U1.

So auch bei U3: (1 1 0 1) + (1 0 1 1) = (2 1 1 0)∉U2, da x₁ ·x₂ ·x₃ = 2≠0.

Leider machen mir die Aufgaben b) und d) Schwierigkeiten, da ich nicht weiß, wie ich mit dem ∧ die Abgeschlossenheit der Addition und Multiplikation nachweisen soll...

Hat jemand vielleicht einen Tipp, ;)

Answer 1

führe die Vektoraddition und die S-Multiplikation doch einfach allgemein aus und überprüfe die Ergebnisse in  jeder der beiden Bedingungen einzeln wie bei einer Bedingung.

Gruß Wolfgang

Comments

Also könnte man in b) wie folgt vorgehen?

Sei U2∈ℝ⁴ , somit ist ist U2⊆ℝ⁴ .  Da (0 0 0 0)∈U2⇒ U2≠∅ .

Für die Skalarmultiplikation gilt:

λ·(2x₁+3x₂+4x₃+5x₄) = λ·0 = 0  ∧  λ·(x₁+x₂−x₃−2x₄) = λ·0 = 0 ∈U2.

Für die Vektoraddition gilt dann:

2(x₁+y₁)+3(x₂+y₂)+4(x₃+y₃)+5(x₄+y₄) = 0+0 = 0  ∧  (x₁+y₁)+(x₂+y₂)+(-1)(x₃+y₃)+(-1)(x₄+y₄) = 0+0 = 0 ∈U2

Somit ist U2 ein Unterraum von ℝ⁴.

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zweimal  ... = 0  statt  ... = 0 ∈U2   ist richtig    (0∉U₂ !)

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Ok das habe ich verstanden, doch wie sieht es bei der d) aus?...

U4⊆ℝ⁴ und  U4≠∅.

Für die Skalarmultiplikation:

2(x₂+y₂)+ 3(x₃+y₃) = 2(x₁+y₁) ∧ (x₄+y₄) = 2(x₁+y₁) + 5(x₃+y₃)

Für die Vektoraddition:

λ(2x₂ + 3x₃) = λ(2x₁)  ∧  λx₄ = λ(2x₁ + 5x₃)

Somit ist U4 ein Unterraum von ℝ⁴.

Oder habe ich dabei etwas nicht bedacht?

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Außer dass du S-Multiplikation und Vektoraddition vertauscht hast, ist es in Ordnung.

Man sollte aber noch begründen, wieso die angegebenen Bedingungen wahr sind.

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wieso sind die bedingungen bei u2 und u4 wahr?

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2(x₂+y₂)+ 3(x₃+y₃) = 2(x₁+y₁) ∧ (x₄+y₄) = 2(x₁+y₁) + 5(x₃+y₃)

⇔ 2x₂+3x₃ +  2y₂+3y₃  = 2x₁ + 2y₁  ∧ ....

gleichfarbige Teilterme sind links und rechts nach Voraussetzung gleich, wenn  x und y in U₄ liegen. Alles andere geht analog.