Question

1. Es sei f(x):(0,+∞)→R:x →x·x^x.
   

(a) Bestimmen Sie die Tangentengleichung von f für x0 = 1.(b) Approximieren Sie ∫ 0,5 1,5 f (x) dx mit Hilfe von (a).(c) Bestimmen Sie die Taylor-Formel für n = 1 und x0 = 1.

Comments

Tipp: Du hast die Aufgaben zur eigenstaendigen Bearbeitung bekommen. Damit war nicht gemeint, sie kommentarlos im Internet zu posten.

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Es sei f(x):(0,+∞)→R:x →x·xx.


Bestimme die Taylor-Formel für n = 1 und x0 = 1.

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Was meinst du mit x·xx  ? Soll das x^3 sein? 

Answer 1

> f(x):[0,+∞] → ℝ:  x →x·x^x 

f(x) = x · e^x·ln(x)      [ = x · (e^ln(x))^x ]

a)   Bestimmen Sie die Tangentengleichung von f für x₀ = 1

f '(x) = e^x·ln(x) · (x·ln(x) + x + 1)     (Produktregel)

f '(1) = 2 ;  f(1) = 1     

B(1|1) ist also der Berührpunkt der gesuchten Tangent t und m = 2 ist ihre Steigung.

Die Gerade durch den Punkt P( x_p | y_p ) mit der Steigung m hat die Gleichung

y = m • ( x - x_p ) + y_p            [ Punkt-Steigungs-Formel ]   

t :  y = 2 • (x - 1) + 1  →   t(x)  = 2x -1  

b)  Approximieren Sie  ∫ 0,5 1,5 f (x) dx mit Hilfe von (a)

Du sollst wohl einfach  f(x) näherungsweise durch t(x) ersetzen:

_0,5 ∫^1,5 f(x) dx  ≈ _0,5 ∫^1,5 t(x) dx  =  _0,5 ∫^1,5 (2x -1) dx  

                              =  [ x² - x ]_0,5^1,5  = 1,5² - 1,5 - (0,5² - 0,5)  = 1 

_0,5 ∫^1,5 f(x) dx  ≈  1     (Dreiecksfläche zwischen Tangente und Graph)

c)  

T_n f(x,a) =  ∑_k=oⁿ  f^(k)(a) / k! · (x - a)^k   

T₁ f(x,1) =  ∑_k=o¹  f^(k)(1) / k! · (x - 1)^k   

              =  f(1) / 0! · 1 + f '(1) · 1! · (x - 1)

              =  1 + 2 · (x -1) = 2x -1 

Das Taylorpolynom stimmt also mit der Tangente in x = 1 überein.

Gruß Wolfgang