Bestimmen eine nicht triviale Darstellung des Nullvektors

Question

Es sei R³ der Standardvektorraum und v₁, v₂, v₃ ∈ R³ gegeben als:

v₁=

1

1

-1

 v₂=

1

2

1

 v₃=

1

4

5

 Bestimmen Sie eine nicht-triviale Darstellung des Nullvektors durch v₁, v₂, v₃ sowie eine

Basis der linearen Hülle von {v₁, v₂, v₃}

Answer 1

Der Ansatz x*v1+y*v2+z*v3 = 0-Vektor führt

nach Umformung auf das Gl. System

x+y+z=0

    y+3z= 0

und  0=0 

Also kannst zu etwa z frei wählen z.B. z=1

und dann y = -3   und   x= 3-1 = 2

und du hast   2*v1-3*v2+1*v3 = 0-Vektor

und gleichzeitig zeigt sich, dass je zwei

der gegebenen Vektoren eine Basis

der lin. Hülle der drei bilden.

Comments

Darf ich fragen wie man auf y+3z=0 kommt ? Habe mehrmals durchgerechnet aber irgendwie bleib ich da stecken.

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2. Zeile plus 3. gibt

3y + 9z = 0   das durch 3 und du bist da.

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Könntest du mir das mit der Basis näher erklären?
Sind nicht alle 3 Vektoren lu und daher Basis?
Wie sieht die Basis formal aus?
Danke

Answer 2

r·[1, 1, -1] + s·[1, 2, 1] = [1, 4, 5] --> r = -2 ∧ s = 3

Also

-2·k·[1, 1, -1] + 3·k·[1, 2, 1] - 1·k·[1, 4, 5] = [0, 0, 0]